圆锥曲线已知AB是过抛物线y^2
已知AB是过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的直线,求证:
1 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
2 A、B两点的横坐标之积为定值
3 1/|FA|+1/|FB|为定值
由抛物线的标准方程:焦点(P/2,0)
AB的方程:y=k(x-p/2)
y^2=2px
k^x^-(pk^+2p)x+p^k^/4=0
x1+x2=p+2p/k^ x1*x2=p^/4
由抛物线的定义可知:|AF|等于A到准线x= -p/2的距离|Aa|,| Aa | =x1+p/2
|Bb|= x2+p/2 则|AB|= x1+x2+p=2p+2p/k^
由AB中点G点横坐标为 p/2+p/k^
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已知AB是过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的直线,求证:
1 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
2 A、B两点的横坐标之积为定值
3 1/|FA|+1/|FB|为定值
由抛物线的标准方程:焦点(P/2,0)
AB的方程:y=k(x-p/2)
y^2=2px
k^x^-(pk^+2p)x+p^k^/4=0
x1+x2=p+2p/k^ x1*x2=p^/4
由抛物线的定义可知:|AF|等于A到准线x= -p/2的距离|Aa|,| Aa | =x1+p/2
|Bb|= x2+p/2 则|AB|= x1+x2+p=2p+2p/k^
由AB中点G点横坐标为 p/2+p/k^
G到准线的距离:p/2+p/k^+p/2=p+ p/k^
G到准线的距离=(1/2)|AB|
以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
2) 由1) x1*x2=p^/4
A、B两点的横坐标之积为定值
3) 由1)|AF|等于A到准线x= -p/2的距离|Aa|,| Aa | =x1+p/2
| BF| =|Bb|= x2+p/2 x1+x2=p+2p/k^ x1*x2=p^/4
1/|FA|+1/|FB| =(|AF|+|BF|)/(|AF|*|BF|)=(2p+2p/k^) /[(x1+p/2)*(x2+p/2)]
=2/p
1/|FA|+1/|FB|为定值2/p
。
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