数学代数
已知直角三角形的三边为a、b、c。求证：60|abc
全部回答
1。a,b,c>0
若a^2+b^2=c^2
可设a=m^2-n^2,b=2mn，c=m^2+n^2
2。60=3*4*5。
abc=2mn（m^2-n^2）（m^2+n^2）。
3。 4|2mn（m^2-n^2）（m^2+n^2）。 因为mn为奇数==》2|m^2-n^2==》 4|abc。 4。3|2mn（m^2-n^2）（m^2+n^2）。
因为mn不被3整除==》 m^2≡1（mod3），n^2≡1（mod3）， ==》3|（m^2-n^2）==》 3|abc。 5。5|2mn（m^2-n^2）（m^2+n^2）。
因为mn不被5整除==》 m^2≡1，4（mod5），n^2≡1，4（mod5）， ⅰ。 m^2≡1（mod5），n^2≡1（mod5），或 m^2≡4（mod5），n^2≡4（mod5）， ==》5|（m^2-n^2）==》 5|abc。
ⅱ。m^2≡1（mod5），n^2≡4（mod5），或 m^2≡4（mod5），n^2≡1（mod5）， ==》5|（m^2+n^2）==》 5|abc。 6。
3|abc，4|abc，5|abc。 ==》60=3*4*5|abc。
3。 4|2mn（m^2-n^2）（m^2+n^2）。 因为mn为奇数==》2|m^2-n^2==》 4|abc。 4。3|2mn（m^2-n^2）（m^2+n^2）。
因为mn不被3整除==》 m^2≡1（mod3），n^2≡1（mod3）， ==》3|（m^2-n^2）==》 3|abc。 5。5|2mn（m^2-n^2）（m^2+n^2）。
因为mn不被5整除==》 m^2≡1，4（mod5），n^2≡1，4（mod5）， ⅰ。 m^2≡1（mod5），n^2≡1（mod5），或 m^2≡4（mod5），n^2≡4（mod5）， ==》5|（m^2-n^2）==》 5|abc。
ⅱ。m^2≡1（mod5），n^2≡4（mod5），或 m^2≡4（mod5），n^2≡1（mod5）， ==》5|（m^2+n^2）==》 5|abc。 6。
3|abc，4|abc，5|abc。 ==》60=3*4*5|abc。
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