数学在△ABC中，若sinB+sinC
在△ABC中，若sinB+sinC=sinA(cosB+cosC)。
1。判断△ABC的形状
由正弦定理有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径）
所以：
sinA=a/2R
sinB=b/2R
sinC=c/2R
代入等式得到：(b+c)/2R=(a/2R)[cosB+cosC]
===> (b+c)=a[(a^2+c^2-b^2)/2ac+(a^2+b^2-c^2)/2ab]
===> b+c=(a^2+c^2-b^2)/2c+(a^2+b^2-c^2)/2b
===> b+c=(a^2b+c^2b-b^3+a^2c+b^2c-c^3)/2bc
===> 2b...全部
在△ABC中，若sinB+sinC=sinA(cosB+cosC)。
1。判断△ABC的形状
由正弦定理有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径）
所以：
sinA=a/2R
sinB=b/2R
sinC=c/2R
代入等式得到：(b+c)/2R=(a/2R)[cosB+cosC]
===> (b+c)=a[(a^2+c^2-b^2)/2ac+(a^2+b^2-c^2)/2ab]
===> b+c=(a^2+c^2-b^2)/2c+(a^2+b^2-c^2)/2b
===> b+c=(a^2b+c^2b-b^3+a^2c+b^2c-c^3)/2bc
===> 2bc(b+c)=a^2(b+c)+bc(b+c)-(b^3+c^3)
===> bc(b+c)=a^2(b+c)-(b+c)(b^2-bc+c^2)
===> bc(b+c)=(b+c)(a^2-b^2+bc-c^2)
===> bc=a^2-b^2+bc-c^2
===> a^2=b^2+c^2
所以，△ABC是以A为直角的直角三角形
2。
在△ABC中，若角A的对应边a=1,试求△ABC内切圆半径r的取值范围
如图
设Rt△ABC的内切圆O与边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F
则，四边形AEOF为正方形
所以，AE=AF=r
那么：
CE=CD=AC-AE=b-r
BF=BD=AB-AF=c-r
所以，斜边BC=CD+BD=(b-r)+(c-r)=(b+c)-2r
所以，(b+c)-2r=a=1
===> 2r=(b+c)-1
因为三角形两边之和大于第三边，即：b+c＞a=1
所以，(b+c)-1＞0
即，r＞0
又，由勾股定理得到：b^2+c^2=a^2=1
所以，令b=cosθ、c=sinθ（0＜θ＜90°）
===> b+c=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)
因为sin(θ+π/4)≤1
所以，b+c=√2sin(θ+π/4)≤√2
===> (b+c)-1≤√2-1
所以，0＜r=[(b+c)-1]≤(√2-1)/2。
收起
