高等数学2

高等数学2Lim（ e的x次－1）/ x 　　x趋于0时极限等于多少？ Lim[根号（x＋1再－1）]/ x x趋于0时极限等于多少？ Lim[ 根号（x平方＋ｘ）]再减去[根号（x平方－x）] x趋于∞时极限等于多少？ Lim [ln（a+x）－lna]/x （a＞0） 　　x趋于0时极限等于多少？ Lim（sinx－sina）/ （x－a） 　　x趋于a时极限等于多少？

1)在(e^x-1)/x中令t=e^x-1--->e^x=1+t--->x=ln(1+t) --->(e^x-1)/x=t/ln(1+t) =1/[1/t*ln(1+t)]=1/ln[(1+t)^(1/t)]。 x-->0--->t-->0--->1/t-->+∞ 因为1/t-->+∞时lim(1+t)^(1/t)=e。 所以原式=lne=1。 2)[√(1+x)-1]/x =[(1+x)-1]/{x[√(x+1)+1]} 分子有理化。 =1/[√(1+x)+1]。 x-->0时，其极限是1/[√(1+0)+1=1/2。 3)√(x^2+x)-√(x^2-x) 分子有理化。...全部

  1)在(e^x-1)/x中令t=e^x-1--->e^x=1+t--->x=ln(1+t) --->(e^x-1)/x=t/ln(1+t) =1/[1/t*ln(1+t)]=1/ln[(1+t)^(1/t)]。
   x-->0--->t-->0--->1/t-->+∞ 因为1/t-->+∞时lim(1+t)^(1/t)=e。 所以原式=lne=1。 2)[√(1+x)-1]/x =[(1+x)-1]/{x[√(x+1)+1]} 分子有理化。
   =1/[√(1+x)+1]。 x-->0时，其极限是1/[√(1+0)+1=1/2。 3)√(x^2+x)-√(x^2-x) 分子有理化。 =[(x^2+x)-(x^2-x)]/[√(x^2+x)+√(x^2-x)] =2x/[√(x^2+x)+√(x^2-x)] 分子、分母同时除以x。
   =2/[√(1+1/x)+√(1-1/x)] 因为x-->∞时1/x-->0 所以原式的极限值是2/(1+1)=1。 4)[ln(a+x)-lna]/x=ln(1+x/a)/x =1/a*a/x*ln(1+x/a)=1/a*ln[(1+x/a)^(a/x)] 当x-->0时x/a-->0时极限值是1/a*lne=1/a。
   5)(sinx-sina)/(x-a) =2cos(x/2+a/2)sin(x/2-a/2)/(x-a) =cosxx/2+a/2)*sin(x/2-a/2)/(x/2-a/2)。
   x-->a则((x-a)/2-->0):limcos(x/2+a/2)=cosa。limsin(x/2-a/2)/(x/2-a/2)=1 所以原式=cosa*1=cosa。收起