高二数学题谢谢
已知抛物线Yˇ=-4X，其准线与X轴交于点M，过点M作斜率为K的直线L交抛物线于A，B两点，弦AB的中点P，AB的垂直平分线与X轴交于点E（x0,0)： (1)求斜率K的取值范围 (2)求证:x0＜-3 (3)三角形PEF能否成为以EF为底边的等腰三角形？若能，求出K的值；若不能，请说明理由。 （过程详细点）
全部回答
解:(1)设点A,B的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点P(X,Y)
由y^2=-4x知:-2p=-4,p=2。
焦点F(-1,0),准线方程x=1。
点M(1,0) 则,过点M(1,0),斜率为k的直线L的方程为:y=k(x-1) 所以:y1=k(x1-1) y2=k(x2-1) 联立y^2=-4x与y=k(x-1)有k^2*x^2+(4-2k^2)x+k^2=0 所以X=(x1+x2)/2=(k^2-2)/k^2 0 ② 由①得: -根号2<k<根号2 由②得: -1<k<1 所以:-1<k<1 (2)线段AB的垂直平分线方程为:y+2/k=(-1/k)[x-(k^2-2)/k^2] 令y=0,化简得x=-2+(k^2-2)/k^2 ③ 因为0<k^2<1 所以(k^2-2)/k^2<-1,-2+(k^2-2)/k^2<-3 即点E(x0,0)中x0<3 (3)假设|PF|=|PE|,即 (X+1)^2+(Y-0)^2=(X-x0)^2+(Y-0)^2 ④ 将①,③代入④整理得:-2=0显然不成立 故:三角形PEF不能成为以EF为底边的等腰三角形。
点M(1,0) 则,过点M(1,0),斜率为k的直线L的方程为:y=k(x-1) 所以:y1=k(x1-1) y2=k(x2-1) 联立y^2=-4x与y=k(x-1)有k^2*x^2+(4-2k^2)x+k^2=0 所以X=(x1+x2)/2=(k^2-2)/k^2 0 ② 由①得: -根号2<k<根号2 由②得: -1<k<1 所以:-1<k<1 (2)线段AB的垂直平分线方程为:y+2/k=(-1/k)[x-(k^2-2)/k^2] 令y=0,化简得x=-2+(k^2-2)/k^2 ③ 因为0<k^2<1 所以(k^2-2)/k^2<-1,-2+(k^2-2)/k^2<-3 即点E(x0,0)中x0<3 (3)假设|PF|=|PE|,即 (X+1)^2+(Y-0)^2=(X-x0)^2+(Y-0)^2 ④ 将①,③代入④整理得:-2=0显然不成立 故:三角形PEF不能成为以EF为底边的等腰三角形。
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