椭圆以正方形ABCD的对角顶点A,C为焦点,且经过正方形各边的中点.求该椭圆的离心率.
设正方形的4个顶点是F1(-c,0),P(0,c),F2(c,0),Q(0,-c),则椭圆的方程是
x^2/a^2+y^2/(a^2-c^2)=1。
--->(a^2-c^2)x^2+a^2*y^2=a^2*(a^2-c^2)
F1P的中点M(c/2,c/2)在椭圆上。
代入椭圆方程得到
(a^2-c^2)c^2+a^2*c^2=4a^2*(a^2-c^2)
两边同时除以a^4,得到
(1-e^2)e^2+e^2=4(1-e^2)
--->e^4-6e^2+4=0
--->e^2=3-√5
--->e=(3-√5)=(√5-1)/√2。
。
椭圆以正方形ABCD的对角顶点A,C为焦点,且经过正方形各边的中点。
求该椭圆的离心率。
以正方形的对角线所在的直线为坐标轴,建立坐标系
不妨设A(-2,0)、C(2,0) 、B(0,-2)、D(0,2)
则AB的中点为E(-1,-1)
设可椭圆为:(x/a)^2 +(y/b)^2=1
因为椭圆经过E(-1,-1)点
所以(1/a)^2 +(1/b)^2=1
因为c=2
所以 1/a^2 +1/(a^2-4)=1
解得:a=(√10+√2)/2
所以e=c/a=(√10-√2)/2 。