高二椭圆问题
已知椭圆C的焦点是F1（-√3，0），F2（√3，0），点F1到相应准线的距离为√3/3，过F2点且倾斜角为锐角的直线L与椭圆C交与A、B两点且使得|F2B|=3|F2A|（1）：求椭圆的方程，（2）：求直线L的方程请回答者写出详细的解答过程，如果可以也把图画上去，谢谢！
全部回答
1）c=√3，因为已知焦点到准线的距离，所以-c-(-a^/c)=√3/3
--->a^-c^=c√3/3=1
--->a^=4； b^=1。
所以椭圆的方程是 x^/4+y^=1。
2）设直线A(x1,y1)B(x2,y2)的参数方程是 ky=x-√3,k>0是斜率的倒数
代入椭圆方程得到 (ky+√3)^+4y^=4
--->(k^+4)y^+2√3ky-1=0
--->x1+x2=4√3k^/(1+4k^)。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(1)
x1x2=(12k^-4)/(1+4k^)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(2)
∵|F2B|=3|F2A|
∴(√3-x1)=3(x2-√3)
x1+3x2=4√3。
。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(3)
由(1)(3)。
解得:
x2=2√3(1+3k^)/(1+4k^)
x1=2√3(-1-k^)/(1+4k^)
带入(2):12(1+3k^)(-1-k^)=4(3k^-1)(4k^+1)
-3(3k^^+4k^+1)=12k^^-k^-1
21k^^+11k^+2=(3k^+2)(7k^+1)=0
出错了？。
遗憾，不会在电脑上作图。
1）c=√3，因为已知焦点到准线的距离，所以-c-(-a^2/c)=√3/3
--->a^2-c^2=c√3/3
--->a^2=4； b^2=1。
所以椭圆的方程是 x^2/4+y^2=1。
2）设直线的参数方程是 x=tcosT+√3; y=tsinT (0=[(cosT)^2+4(sinT)^2]t^2+2√3tcosT-1=0
--->t1+t2=-2√3cosT/[(cosT)^2+4(sinT)^2]; t1t2=-1/[(cosT)^2+4(sinT)^2]。
依题意可知A、B在x轴的异侧，所以t1、t2异号，于是
|t2|=3|t1|--->t2=-3t1。因此二次方程的根与系数关系式成为
-2t1=。。。。。
。（1） -3t1^2=。。。。。。（2）
(2)/(1):3t1/2=1/(2√3cosT)。 。。。。。(3)
(3)/(1):(cosT)^2+4(sinT)^2=2/3
--->3(cosT)^2+12(sinT)^2=2
--->(cosT)^2+10(sinT)^2=0
--->(cosT)^2+10(sinT)^2=0
--->(tant)^2=-1/9
运算忒麻烦，不知毛病出在何处？但是方法是不错的。
希望能够有所帮助。
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