棱锥问题3

求三棱锥的内切球和外接球半径已知

已知一个三棱锥的底面是边长为a的正△，侧棱长均为b，求它的内切球和外接球半径 已知三棱柱P-ABC的底面ABC为边长=a的正三角形，左右侧棱长均为b 1）外接球的情形 连接PO，并延长PO交面ABC于点O' 因为P-ABC为正三棱椎，所以：O'为△ABC的内心 且，PO⊥面ABC 连接CO'并延长，交AB边于点D，则D为AB中点 连接OC 则，OP=OC=R（外接球半径） 因为ABC为正三角形，所以：CO'=a*(√3/2)*(2/3)=(√3/3)a 设OO'=x 那么：PO'=R+x 在Rt△OO'C中，由勾股定理有：OC^2=OO'^2+CO'^2 即：R^2=x^2+[(√3/3)...全部

  已知一个三棱锥的底面是边长为a的正△，侧棱长均为b，求它的内切球和外接球半径 已知三棱柱P-ABC的底面ABC为边长=a的正三角形，左右侧棱长均为b 1）外接球的情形 连接PO，并延长PO交面ABC于点O' 因为P-ABC为正三棱椎，所以：O'为△ABC的内心 且，PO⊥面ABC 连接CO'并延长，交AB边于点D，则D为AB中点 连接OC 则，OP=OC=R（外接球半径） 因为ABC为正三角形，所以：CO'=a*(√3/2)*(2/3)=(√3/3)a 设OO'=x 那么：PO'=R+x 在Rt△OO'C中，由勾股定理有：OC^2=OO'^2+CO'^2 即：R^2=x^2+[(√3/3)a]^2=x^2+(a^2/3)……………………（1） 而，在Rt△PO'C中，也有：PC^2=PO'^2+CO'^2 即：b^2=(R+x)^2+[(√3/3)a]^2=(R+x)^2+(a^2/3)…………（2） 联立(1)(2)得到： R=(b^2/2)*{√[3/(3b^2-a^2)]} 2）内切球情形 连接PO并延长，交底面ABC于O' 连接CO'并延长，交边AB于D，则D为AB中点 连接PD，球O切面PAB于点E，切面ABC于O' 连接OO'、OE，则：OO'⊥面ABC，OE⊥面PAB 同1）有： CO'=(√3/3)a PO'^2=PC^2-CO'^2=b^2-(a^2/3) 所以：PO=√[b^2-(a^2/3)] 所以，PO=PO'-OO'=√[b^2-(a^2/3)]-r 由于Rt△DOO'≌Rt△DOE，所以：DO'=DE=CO'/2=(√3/6)a 而，PD^2=PB^2-BD^2=b^2-(a/2)^2=b^2-(a^2/4) 所以：PD=√[b^2-(a^2/4)] 设内切球半径为r，那么：由Rt△POE∽Rt△PDO'得到： PO/PD=OE/DO' {√[b^2-(a^2/3)]-r}/√[b^2-(a^2/4)]=r/(√3a/6) 解得： r=[a*√(3b^2-a^2)]/[√3a+b*√(b^2-a^2/4)]。
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