用向量表示三平面关系的一道题龚老
R(a1,a2,a3)=1说明(a1,a2,a3)的三个行向量两两线性相关,即说明了三平面的法向量互相平行,所以三平面平行(包括共面)。
(a1,a2,a3)和(a1,a2,a3,a4)分别方程组(a1,a2,a3)(x,y,z)T=-a4的系数矩阵和增广矩阵。
R(a1,a2,a3)=R(a1,a2,a3,a4)=1,表示方程组(a1,a2,a3)(x,y,z)T=-a4有无穷多组解,有两个独立任意常数。说明了三个平面为同一个平面(互相重合);
R(a1,a2,a3)=R(a1,a2,a3,a4)=2,表示方程组(a1,a2,a3)(x,y,z)T=-a4有无穷多组解,有一个任意常数...全部
R(a1,a2,a3)=1说明(a1,a2,a3)的三个行向量两两线性相关,即说明了三平面的法向量互相平行,所以三平面平行(包括共面)。
(a1,a2,a3)和(a1,a2,a3,a4)分别方程组(a1,a2,a3)(x,y,z)T=-a4的系数矩阵和增广矩阵。
R(a1,a2,a3)=R(a1,a2,a3,a4)=1,表示方程组(a1,a2,a3)(x,y,z)T=-a4有无穷多组解,有两个独立任意常数。说明了三个平面为同一个平面(互相重合);
R(a1,a2,a3)=R(a1,a2,a3,a4)=2,表示方程组(a1,a2,a3)(x,y,z)T=-a4有无穷多组解,有一个任意常数。
说明了三个平面相交于同一条直线(至少有一个平面和其他两个平面不重合)。
R(a1,a2,a3)=R(a1,a2,a3,a4)=3说明了此方程组有唯一解,即三个平面相交于一点。
R(a1,a2,a3)<R(a1,a2,a3,a4),表示方程组(a1,a2,a3)(x,y,z)T=-a4没有解,只可能有下列两种情况:
(1) R(a1,a2,a3)=1,R(a1,a2,a3,a4)=2,说明三个平面互相平行,其中有且仅有两个重合;
(2) R(a1,a2,a3)=2,R(a1,a2,a3,a4)=3,则
(2。
1)或者三个平面互不平行,两两相交于三条平行线;
(2。2)或者有两个平面互相平行,另一个与他们不平行。
。收起