头痛数学题，烦啊！试证不定方程x
证明:
将x看作未知数，则方程x^2-2xy^2+5z+3=0是关于x的一元一次方程。
（1）当△<0时，方程无解，当然也就无整数解。
（2）当△≥0时，根据求根公式：x={2y^2±√[(-2y^2)^2-4(5z+3)]}/2
=y^2±√(y^4-5z-3)
分析：因为y取整数时y^4的个位数字只能取（0、1、5、6），
所以y^4-3的个位数字只能取（2、3、8、7)
故有
A。 当z是偶数时5z的个位为0，y^4-5z-3的个位数字只能取（2、3、8、7)
B。当z是奇数时5z的个位为5，y^4-5z-3的个位数字只能取（2、3、8、7)
综合A、B有当y、z取整数时y^4-5...全部
证明:
将x看作未知数，则方程x^2-2xy^2+5z+3=0是关于x的一元一次方程。
（1）当△<0时，方程无解，当然也就无整数解。
（2）当△≥0时，根据求根公式：x={2y^2±√[(-2y^2)^2-4(5z+3)]}/2
=y^2±√(y^4-5z-3)
分析：因为y取整数时y^4的个位数字只能取（0、1、5、6），
所以y^4-3的个位数字只能取（2、3、8、7)
故有
A。
当z是偶数时5z的个位为0，y^4-5z-3的个位数字只能取（2、3、8、7)
B。当z是奇数时5z的个位为5，y^4-5z-3的个位数字只能取（2、3、8、7)
综合A、B有当y、z取整数时y^4-5z-3的个位数字只能取（2、3、8、7)
x要取整数则y^4-5z+3必为完全平方数，而个位数字为2、3、8、7的整数
不可能是完全平方数，因为完全平方数的个位数字只能取0、1、4、5、6、9
所以y、z取整数时，x不是整数。
综合（1）（2）得不定方程x^2-2xy^2+5z+3=0无整数解
注：可以验证
个位为0~9的整数的四次方的个位分别为：0、1、6、1、6、5、6、1、6、1
个位为0~9的整数的平方的个位分别为：0、1、4、9、6、5、6、9、4、1
补充方法二：和楼下的差不多
解：若不定方程有解，则 x=y^2±√(y^4-5z-3)
但y^4≡0，1(mod5), ∴ 对y,z
y^4-5z-3≡2，3(mod5)
而一个平方数≡0，1，4（mod 5）
∴ y4-5z-3不可能为完全平方，即 y^4-5z-3不是整数，
所以原不定方程无解。
。收起
