对于任意正整数n，求证1^(n 1) 2^(n 1) 3^(n 1) …… n^(n 1)
假定不等式成立。左边继续加一项(n 1)^(n 1)，右边为[ (n 1) 1 ]^(n 1)，展开 = ?(n 1)^(n 1) ?(n 1) (n 1)^n …… 1 = ?(n 1)^(n 1) ?(n 1)^(n 1) …… 1 ，继续大于左边，不等式成立。 这是用数学归纳法求证。先假定对于前n项不等式成立，如果能证明对于前n 1项不等式也成立，则对于任意正整数n，不等式均成立。证明的原理是，假设 n = 1 时成立，如果能证明 n 1 即 n = 2 时也成立，那么 n = 2 1 = 3、n = 3 1 = 4 …… n = n ...全部
假定不等式成立。左边继续加一项(n 1)^(n 1)，右边为[ (n 1) 1 ]^(n 1)，展开 = ?(n 1)^(n 1) ?(n 1) (n 1)^n …… 1 = ?(n 1)^(n 1) ?(n 1)^(n 1) …… 1 ，继续大于左边，不等式成立。
这是用数学归纳法求证。先假定对于前n项不等式成立，如果能证明对于前n 1项不等式也成立，则对于任意正整数n，不等式均成立。证明的原理是，假设 n = 1 时成立，如果能证明 n 1 即 n = 2 时也成立，那么 n = 2 1 = 3、n = 3 1 = 4 …… n = n 1 时自然全都成立。
本题先假设? 1^(n 1) 2^(n 1) 3^(n 1) …… n^(n 1)为了比较，就需要按杨辉三角形展开二项式 [ (n 1) 1 ] 的 (n 1) 次幂，等于 (n 1)^(n 1) (n 1)^(n 1) …… 1。
其中第一项是原有的，已假定大于左边原有的；第二项等于左边新增加的，第三项起至最后的1，是右边新增加的。所以右边增加的大于左边增加的，不等式依然成立。命题得证。只要是用数学归纳法求证，都必须掌握二项式（n 1 )的幂展开式，这是个基本功。
如果不会，只要做做（n 1 )^2、（n 1 )^3、（n 1 )^4、（n 1 )^5、（n 1 )^n，差不多就会了。收起
