求实数a的取值范围
已知函数y＝sinx+asin2xcosx.若函数的最大值为1，求实数a的取值范围。
全部回答
显然，当sinx＝1时y＝1，从而问题就是：
求使所有x，总有y＝sinx+asin2xcosx≤1恒成立时，a的取值范围。
令t＝sinx∈[-1，1]，则
y＝sinx+2asinx(cosx)^2＝t+2at(1-t^2)，
→y＝(t-1)(-2at^2-2at+1)+1。
∵t-1≤0，故-2at^2-2at+1≥0， 即求2at^2+2at-1≤0在t∈[-1，1]时恒成立时a的取值范围。 (1)当a＝0时，-1≤0，满足题意。 (2)当a>0时，即为 t^2+t-1/2a＝(t+1/2)^2-(1/4+1/2a)≤0， 结合a>0知，0<a≤1/4。
(3)当a<0时，即为 t^2+t-1/2a＝(t+1/2)^2-(1/4+1/2a)≥0， 上式在t∈[-1，1]时恒成立， 则-(1/4+1/2a)≥0， 结合a<0得，-2≤a<0。
综上所述，知所求a的取值范围为：[-2，1/4]。
∵t-1≤0，故-2at^2-2at+1≥0， 即求2at^2+2at-1≤0在t∈[-1，1]时恒成立时a的取值范围。 (1)当a＝0时，-1≤0，满足题意。 (2)当a>0时，即为 t^2+t-1/2a＝(t+1/2)^2-(1/4+1/2a)≤0， 结合a>0知，0<a≤1/4。
(3)当a<0时，即为 t^2+t-1/2a＝(t+1/2)^2-(1/4+1/2a)≥0， 上式在t∈[-1，1]时恒成立， 则-(1/4+1/2a)≥0， 结合a<0得，-2≤a<0。
综上所述，知所求a的取值范围为：[-2，1/4]。
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