已知函数y=sinx+asin2xcosx.若函数的最大值为1,求实数a的取值范围。
显然,当sinx=1时y=1,从而问题就是:
求使所有x,总有y=sinx+asin2xcosx≤1恒成立时,a的取值范围。
令t=sinx∈[-1,1],则
y=sinx+2asinx(cosx)^2=t+2at(1-t^2),
→y=(t-1)(-2at^2-2at+1)+1。
∵t-1≤0,故-2at^2-2at+1≥0,
即求2at^2+2at-1≤0在t∈[-1,1]时恒成立时a的取值范围。
(1)当a=0时,-1≤0,满足题意。
(2)当a>0时,即为
t^2+t-1/2a=(t+1/2)^2-(1/4+1/2a)≤0,
结合a>0知,0<a≤1/4。
(3)当a<0时,即为
t^2+t-1/2a=(t+1/2)^2-(1/4+1/2a)≥0,
上式在t∈[-1,1]时恒成立,
则-(1/4+1/2a)≥0,
结合a<0得,-2≤a<0。
综上所述,知所求a的取值范围为:[-2,1/4]。