求切平面

已知x^2+2y^2+3z^2=21,求其切平面，使其切平面过直线L:（x-6)/2=(y-3)/1=(2z-1)/(-2)

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2013-03-25

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    设F=x^2+2y^2+3z^2-21, 则F'=2x, F'=4y, F'=6z。设切点P(a,b,c), 则切平面的法向量n={2a，4b, 6c}, 即n={a，2b, 3c}, 得切平面方程 a(x-a)+2b(y-b)+3c(z-c)=0, 即 ax+2by+3cz=21。
     直线L：(x-6)/2=(y-3)/1=(z-1/2)/(-1), 方向向量 α={2, 1, -1}。过点M(6,3,1/2)。则点M(6,3,1/2)在切平面上, 得 6a+6b+3c/2=21 ① 又向量n⊥α，则 2×a+1×2b-1×3c=0, 即 2a+2b-3c=0 ② ①-3②, 得 c=2，a=3-b，代入a^2+2b^2+3c^2=21，得 P(3,0,2), 或 P(1,2,2)。
     故切平面方程为 x+2z=7，或 x+4y+6z=21。

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