关于求导
关于证明函数可导有两种方法，一种按定义，一种按左右导数相等，在左右导数相等的方法中，我看到回答别人的问题时提到的左右导数相等，不等于左右导数左右极限相等，然后我就有个疑问了，那么是不是按照左右导数相等证明函数可导时也必须得按照左右可导等于△y/△x定义来啊，可以使用导数公式直接求导吗？如果不可以的话，下面这道题我就不会解了a,b取何值时,函数f(x)={x平方(x小于等于1);ax+b(x大于1) 在x=1处连续且可导如果可以使用导数公式，那么有些分段函数好像在使用左右可导时似乎只能通过左右可导等于△y/△x定义，如果按照导数公式计算的话，左右可导好像也有求导数左右极限的嫌疑啊，可能我问的有点笨，麻烦各位老师了，呵呵 。
全部回答
我知道你要问什么。
首先说明，“左右导数相等”不等于“导函数的左右极限相等”，这不是两个很容易混淆的说法。
导数是函数差商的极限。“左右导数”指的是“差商的左右极限”，是在一点上定义的，并没有要求函数在其他点可导。
也就是我不关心其他点的可导性。 但导函数的左右极限意味着导函数已经在一个区间内存在，即函数在一个区间内的每个点都可导才行。 举个例子给你：f(x)=(x^2)*sin(1/x) (x不等于0)；f(x)=0 这个分段定义的函数，它在 0 点的导数是 0（用定义证），即左右导数是 0。
但它的导函数在 0 点不连续，左右极限也不存在。 原则上说，用左右导数来证明导数存在的确需要用定义（即差商的左右极限）。 但为什么可以用求导法则来求左右导数呢？这是因为“导数如果存在，它等于左导数，也等于右导数”。
这里并没有任何导函数的概念在里面。例如，如果我希望求 x^2 在 1 的左导数，我可以先用求导法则（求导法则就是差商极限得来的）求得 x^2 在 1 导数是 2，于是就知道左导数是 2。 同理，ax+b 在 1 的右导数等于在 1 的导数 a。
所以，就知道 a=1 了。 我希望这样解答了你的疑问，我并没有提导函数的事情，虽然“看起来”很像先求导函数再求导函数的左右极限，这只不过对于这个很光滑的函数，左右导数和导函数的左右极限正好相等罢了。
最后，我想说，左右导数一般是用来证明“导数不存在”的，即如果我要证明函数在某点不可导，只要证明在该点的左导数不等于右导数就是。 例如，在证明 |x| 在 0 不可导就是这么证的。
我个人觉得左右导数这个概念没有必要，用差商的左右极限替代可能会更清楚一点。
也就是我不关心其他点的可导性。 但导函数的左右极限意味着导函数已经在一个区间内存在，即函数在一个区间内的每个点都可导才行。 举个例子给你：f(x)=(x^2)*sin(1/x) (x不等于0)；f(x)=0 这个分段定义的函数，它在 0 点的导数是 0（用定义证），即左右导数是 0。
但它的导函数在 0 点不连续，左右极限也不存在。 原则上说，用左右导数来证明导数存在的确需要用定义（即差商的左右极限）。 但为什么可以用求导法则来求左右导数呢？这是因为“导数如果存在，它等于左导数，也等于右导数”。
这里并没有任何导函数的概念在里面。例如，如果我希望求 x^2 在 1 的左导数，我可以先用求导法则（求导法则就是差商极限得来的）求得 x^2 在 1 导数是 2，于是就知道左导数是 2。 同理，ax+b 在 1 的右导数等于在 1 的导数 a。
所以，就知道 a=1 了。 我希望这样解答了你的疑问，我并没有提导函数的事情，虽然“看起来”很像先求导函数再求导函数的左右极限，这只不过对于这个很光滑的函数，左右导数和导函数的左右极限正好相等罢了。
最后，我想说，左右导数一般是用来证明“导数不存在”的，即如果我要证明函数在某点不可导，只要证明在该点的左导数不等于右导数就是。 例如，在证明 |x| 在 0 不可导就是这么证的。
我个人觉得左右导数这个概念没有必要，用差商的左右极限替代可能会更清楚一点。
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