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利用三角函数线证明

利用三角函数线证明1<sina+cosa≤√2其中a是锐角

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2012-11-20

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    我可以,明天证。 当然,我希望有网友先证明(指完全用三角函数线证明)。 -------------------- 兑现承诺,证明如下: 如图,a,b互为余角,直角三角形OAB中,OA=OB=1,AB=√2, OP⊥AP,OQ⊥BQ, sina+cosa=AP+OP>OA=1; sina+cosa=sina+sinb=AP+BQ≤AB=√2 当且仅当a=b=45度时等号成立。
     所以,a为锐角时,1<sina+cosa≤√2。 --------------------- 还有一种方法,稍繁,这里就不介绍了。

2012-11-20

165 0
  设角a与单位圆交于点P(cosa,sina),作PM⊥x轴于M,则 M(cosa,0), ∵a是锐角, ∴P在第一象限, sina=MP>0,cosa=OM>0, sina+cosa=OM+MP>OP=1, 另一个不等式难以用三角函数线证明,改为 (sina+cosa)^=1+2sinacosa=1+sin2a<=2, ∴sina+cosa<=√2。
  

2012-11-20

163 0
【证明】sina+cosa=√2sin(a+π/4) 因为a是锐角,即0<a<π/2,所以π/4<a+π/4<3π/4 结合正弦函数图象,显然√2/2<sin(a+π/4)≤1 因此1<√2sin(a+π/4)≤√2 即有1<sina+cosa≤√2 成立。

2012-11-20

162 0
sina+cosa=√2(√2/2sina+√2/2cosa) =√2[cos(π/4)sina+sin(π/4)cosa] =√2[sin(a+π/4)], ∵0<a<π/2,∴π/4<a+π/4<3π/4, 根据正弦函数的图象可知√2/2<sin(a+π/4)]≤1, ∴1<√2[sin(a+π/4)]≤√2, 即1<sina+cosa≤√2。

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