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解关于函数的不等式

关于x的不等式a^2+2a-(sinx)^2-2acosx>2的解集为全体实数,求实数a的取值范围。

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2012-10-21

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    解:设t=cosx, 原不等式变为 t²-2at+a²-2a-3>0, t∈[-1,1] 令f(t)=t²-2at+a²-2a-3=(t-a)²+2a-3 (1)当a≤-1时, f(t)在[-1,1]上是增函数, 最小值为f(-1) 所以a≤-1 且 f(-1)=a²+4a-2>0 解得a<-2-√6 (2)当-1<a<1时, f(t)在[-1,1]上的最小值为f(a) 所以-1<a<1 且 f(a)=2a-3>0 此时无解 (3)当a≥1时, f(t)在[-1,1]上是减函数, 最小值为f(1) 所以a≥1 且 f(1)=a²-2>0 解得a>√2 综上, a∈(-∞,-2-√6)∪(√2,+∞)。
    。

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