关于x的不等式a^2+2a-(sinx)^2-2acosx>2的解集为全体实数,求实数a的取值范围。
解:设t=cosx, 原不等式变为
t²-2at+a²-2a-3>0, t∈[-1,1]
令f(t)=t²-2at+a²-2a-3=(t-a)²+2a-3
(1)当a≤-1时, f(t)在[-1,1]上是增函数, 最小值为f(-1)
所以a≤-1 且 f(-1)=a²+4a-2>0
解得a<-2-√6
(2)当-1<a<1时, f(t)在[-1,1]上的最小值为f(a)
所以-1<a<1 且 f(a)=2a-3>0
此时无解
(3)当a≥1时, f(t)在[-1,1]上是减函数, 最小值为f(1)
所以a≥1 且 f(1)=a²-2>0
解得a>√2
综上, a∈(-∞,-2-√6)∪(√2,+∞)。
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