函数问题

2010年高考新课标全国卷第21题：设函数f（x）=e^x-1-x-ax^2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．

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2012-09-26

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解： (1) f(x)=e^x-1-x 求导 f'(x)=e^x-1 当x＞0 时 f'(x)＞0 此时f(x)单调递增当x＜0 时 f'(x)＜0 此时f(x)单调递减所以单调增区间为(0, +∞), 单调减区间为(-∞, 0) (2) f(x)=e^x-1-x-ax², x≥0 f'(x)=e^x-1-2ax 由(1)知e^x≥1+x, 当且仅当x=0时等号成立故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x 即1-2a≥0, a≤1/2时, f'(x)≥0 (x≥0), 又f(0)=0 所以x≥0时, f(x)≥0 由e^x＞1+x (x≠0) 得 e^(-x)＞1-x (x≠0) 从而当a＞1/2时, f'(x)＜e^x-1+2a[e^(-x)-1]=e^(-x)*(e^x-1)(e^x-2a) 故当x∈(0,ln2a)时, f'(x)＜0, 而f(0)=0, 于是当x∈(0,ln2a)时 f(x)恒小于0 综上得a∈(-∞,1/2]。
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