梯度是针对标量场的,
梯度是所有方向的方向导数中绝对值最大的那个方向导数,且指向函数值增大的方向。
全导数是在复合函数中的概念。
u=a(t),v=b(t)
z=f[a(t),b(t)]
dz/dt 就是全导数,这是复合函数求导中的一种情况,只有这时才有全导数的概念。
在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说,从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上,梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形,设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P(x,y)∈D,都可以定出一个向量
(δf/x)*i+(δf/y)*j
这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记作gradf(x,y)
类似的对三元函数也可以定义一个:(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]
梯度本意是一个向量(矢量),当某一函数在某点处沿着该方向的方向导数取得该点出的最大值,即函数在该点处沿方向变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。
梯度不会是一种全导数,梯度是一个矢量,除非代表曲面的斜度。