不等式证明设正实数a、b、c满足
设正实数a、b、c满足a+b+c=1。
证明：10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)>=1。 (1)
虽然齐次化思想在证明非齐次不等式时非常重要，但也不是每题必用的，下面给出本题的一种不化齐次的证法。
证明：由(1) 的全对称性,不妨设a>=b>=c,则1-9a^2=0,且有a^3-a=(1-9a^2)(b^3-b)+(1-9b^2)(b^3-b)+(1-9c^2)(b^3-b)+1
>=[(1-9a^2)+(1-9b^2)+(1-9c^2)](b^3-b)+1
=3[(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)](b^3-b)+1
=-3[(a-b^2...全部
设正实数a、b、c满足a+b+c=1。
证明：10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)>=1。 (1)
虽然齐次化思想在证明非齐次不等式时非常重要，但也不是每题必用的，下面给出本题的一种不化齐次的证法。
证明：由(1) 的全对称性,不妨设a>=b>=c,则1-9a^2=0,且有a^3-a=(1-9a^2)(b^3-b)+(1-9b^2)(b^3-b)+(1-9c^2)(b^3-b)+1
>=[(1-9a^2)+(1-9b^2)+(1-9c^2)](b^3-b)+1
=3[(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)](b^3-b)+1
=-3[(a-b^2+(b-c)^2+(c-a)^2](b^3-b)+1
>=1。
因此,不等式(1)成立。
。收起
