一道数学题一道数学题
(1)
ρ=1/[√(1+3(sinθ)^2)],θ∈[0,π)
ρ=1,θ∈[π,2π)
(2)设A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),由OA⊥OB,设θ2=θ1+π/2
则θ1∈[0,2π),θ2∈[π/2,5π/2),
△AOB的面积S=(1/2)ρ1ρ2
①当θ1∈[0,π/2)时,θ2∈[π/2,π)
ρ1=1/[√(1+3(sinθ1)^2)],
ρ2=1/[√(1+3(sinθ2)^2)]=1/[√(1+3(cosθ1)^2)],
S=(1/2)(1/[√(1+3(sinθ1)^2)][√(1+3(cosθ1)^2)]
=(1/2)(1/[√(1+3+9(sinθ1cosθ1)...全部
(1)
ρ=1/[√(1+3(sinθ)^2)],θ∈[0,π)
ρ=1,θ∈[π,2π)
(2)设A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),由OA⊥OB,设θ2=θ1+π/2
则θ1∈[0,2π),θ2∈[π/2,5π/2),
△AOB的面积S=(1/2)ρ1ρ2
①当θ1∈[0,π/2)时,θ2∈[π/2,π)
ρ1=1/[√(1+3(sinθ1)^2)],
ρ2=1/[√(1+3(sinθ2)^2)]=1/[√(1+3(cosθ1)^2)],
S=(1/2)(1/[√(1+3(sinθ1)^2)][√(1+3(cosθ1)^2)]
=(1/2)(1/[√(1+3+9(sinθ1cosθ1)^2)]
=(1/2)(1/[√(4+(9/4)(sin2θ1)^2)]≥(1/2)[√(4+9/4)]=1/5
当且仅当θ1=π/4时等号成立。
1/5≤S≤1/4
②当θ1∈[π/2,π)时,θ2∈[π,3π/2)
ρ1=1/[√(1+3(sinθ1)^2)],ρ2=1,
S=(1/2)(1/[√(1+3(sinθ1)^2)])
1/4≤S≤1/2
③当θ1∈[π,3π/2)时,θ2∈[3π/2,2π)
ρ1=ρ2=1,S=1/2
④当θ1∈[3π/2,2π)时,θ2∈[2π/,5π/2)
情况与②相似,1/4≤S≤1/2
结论:θ1∈[0,2π)时,1/5≤S≤1/2
△AOB的面积最小值1/5,最大值1/2。
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