已知ab的乘积不等于0 求证：a b=1的充要条件是a^3 b^3 ab-a^2-b^2=0
必要性：由a b=1推出a^3 b^3 ab-a^2-b^2=0 a^3 b^3 ab-a^2-b^2 =(a b)(a^2-ab b^2)-a^2 ab-b^2 由a b=1有上式=0 充分性：由a^3 b^3 ab-a^2-b^2=0推出a b=1 a^3 b^3 ab-a^2-b^2 =(a b)(a^2-ab b^2)-a^2 ab-b^2 =(a^2-ab b^2)(a b-1) =(a b-1)[(a-b/2)^2 3b^2/4]=0 因为ab≠0，所以a≠0,b≠0,所以(a-b/2)^2 3b^2/4>0 所以a b-1=0,a b=1。 全部
必要性：由a b=1推出a^3 b^3 ab-a^2-b^2=0 a^3 b^3 ab-a^2-b^2 =(a b)(a^2-ab b^2)-a^2 ab-b^2 由a b=1有上式=0 充分性：由a^3 b^3 ab-a^2-b^2=0推出a b=1 a^3 b^3 ab-a^2-b^2 =(a b)(a^2-ab b^2)-a^2 ab-b^2 =(a^2-ab b^2)(a b-1) =(a b-1)[(a-b/2)^2 3b^2/4]=0 因为ab≠0，所以a≠0,b≠0,所以(a-b/2)^2 3b^2/4>0 所以a b-1=0,a b=1。
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