初三数学题

已知x、y∈R，且x2+y2-8x+6y+21≤0. 求证：2√3≤√(x2+y2+3)≤2√13。

条件式可化为： (x-4)^2+(y+3)^2≤4， 设x=4+rcosθ，y=-3+rsinθ， r∈[0，2]，θ∈[0，2π]，于是 √(x^2+y^2+3) =√(25+8rcosθ-6rsinθ+r^2+3) =√[10rcos(θ+φ)+r^2+28]， 其中，cosφ=4/5，sinφ=3/5。 ∵|cos(θ+φ)|≤1， ∴√(r^2-10r+28)≤√[10rcos(θ+φ)+r^2+28]≤√(r^2+10r+28)。 当r∈[0，2]时， √(r^2-10r+28)|min=2√3， √(r^2+10r+28)|max=2√13。 故原式成立。全部

  条件式可化为： (x-4)^2+(y+3)^2≤4， 设x=4+rcosθ，y=-3+rsinθ， r∈[0，2]，θ∈[0，2π]，于是 √(x^2+y^2+3) =√(25+8rcosθ-6rsinθ+r^2+3) =√[10rcos(θ+φ)+r^2+28]， 其中，cosφ=4/5，sinφ=3/5。
   ∵|cos(θ+φ)|≤1， ∴√(r^2-10r+28)≤√[10rcos(θ+φ)+r^2+28]≤√(r^2+10r+28)。 当r∈[0，2]时， √(r^2-10r+28)|min=2√3， √(r^2+10r+28)|max=2√13。
   故原式成立。收起