求n阶导数，y=e^x×cosx请帮忙！

求n阶导数，y=e^x×cosx

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2019-03-29

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也可用复数的方法。 z=y+ie^x×sinx =e^x×[cosx +isinx]=e^[x(1+i)] z^[(n)]=y^[(n)]+i[e^x×sin]^[(n)]= =[(1+i)]^ne^[x(1+i)]=[√2e^[iπ/4])]^n*e^[x(1+i)]= =2^(n/2)*e^[x+i(x+πn/4)]= =2^(n/2)*e^x*[cos(x+nπ/4)+isin(x+nπ/4)]。
比较等式两端实部得 z^[(n)]=2^(n/2)*e^x*[cos(x+nπ/4)。

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咔***

2019-03-29

772 0

以下用y(n)表示y的n阶导数。n=1,2,3……。 y=e^x*cosx y'=e^x*cosx-e^x*sinx=e^x*(cosx-sinx) --->y(1)=2^(1/2)*e^x*cos(x+Pi/4) y''=e^x(cosx-sinx)+e^x*(-sinx-cosx)=-2e^x*sinx --->y(2)=2*e^x*cos(x+Pi/2) y'''=-2e^x*sinx-2e^x*cosx=-2e^x*(sinx+cosx) --->y(3)=2^(3/2)*e^x*cos(x+3Pi/4) y(4)=-2e^x*(cosx+sinx)-2e^x*(cosx-sinx)=-4e^x*cosx --->y(4)=2^2*e^x*cos(x+Pi)。
组合以上结果，可以归纳出 y(n)=2^(n/2)*e^x*cos(x+nPi/4)。n=1,2,3,……。为了结果可信，还必需用数学归纳法证明。

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问***

2019-03-29

776 0

y=e^x*cosx y'=e^x*cosx -e^x*sinx y"=y'-e^x*sinx-e^x*cosx =-2e^x*sinx y'" =-2(e^x*sinx +e^x*cosx ) y四阶导数=-4e^x*cosx 可以看到,这是一个八个一循环的结果,请参照数列的形式来求n阶导数，y=e^x×cosx

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