如何证明直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

怎样证明等腰直角三角形垂线等于底边的一半

证法1： ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D ∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等） 以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C' ∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角） 又∵∠BAD ∠ABD ∠C’AD ∠AC’D =180°（三角形内角和定理） ∴∠BAD ∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90° 又∵∠BAC=90° ∴∠BAC=∠BAC’ ∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾...全部

  证法1： ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D ∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等） 以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C' ∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角） 又∵∠BAD ∠ABD ∠C’AD ∠AC’D =180°（三角形内角和定理） ∴∠BAD ∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90° 又∵∠BAC=90° ∴∠BAC=∠BAC’ ∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合） ∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理 证法2： ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE ∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线 ∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边） ∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等） ∴DE⊥AB ∴E是AB的垂直平分线 ∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等） ∴AD=CB/2 证法3：运用向量证明 已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线。
  求证BC=2AD 证明：设向量AC=b，向量AB=c，向量BC=a，向量AD=d ∵AD是BC的中线 　　 ∴c b=2d ∴（c b）²=4d² 展开括号，得|c|² 2c·b |b|²=4|d|² 又∵c⊥b ∴c·b=0，|c|² |b|²=|a|² ∴得|a|²=4|d|² 开方得|a|=2|d|，即BC=2AD 证法4：运用矩形的性质证明 延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE ∵BD=CD，∠BAC=90° ∴四边形ABEC是矩形 ∴BC=AE=2AD 证法5：解析几何证明 以A为原点，AC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，并设C（2c,0），B（0，2b），那么D（c，b） |AD|= |BC|= = =2|AD| 证法6：圆 作Rt△ABC外接圆 ∵∠BAC=90° ∴BC是直径（90°的圆周角所对的弦是直径） ∴D是圆心，AD是半径 ∴BC=2AD。
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