什么是海伦公式,及其应用和扩展.如何证明?

    海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a b c),则 S△ABC = aha= ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = = 其中,S△ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
    海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、 海伦公式的变形 S= = ① = ② = ③ = ④ = ⑤ 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。
  证明：如图ha⊥BC,根据勾股定理,得:x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④,故得证。  证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
  斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D,若BD=u,DC=v,AD=t。则 t 2 = 证明：由证一可知,u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤,故得证。
    证三：余弦定理 分析：由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 b2 －2abcosC 对其进行证明。证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证。
  证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。  恒等式：若∠A ∠B ∠C =180○那么 tg · tg tg · tg tg · tg = 1 证明：如图,tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式,得： = ①②③代入,得：∴r2(x y z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x z)＋(x y)－(z y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④,得：r 2 · = 两边同乘以 ,得：r 2 · = 两边开方,得：r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证。
    证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得：r3 = ×xyz海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
    但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表。假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 而公式里的s：s=frac{a b c}{2} 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
    比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。[编辑]证明 与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。
    设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则馀弦定理为 cos(C) = frac{a^2 b^2-c^2}{2ab} 从而有 sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 2a^2b^2 2b^2c^2 2c^2a^2} }{2ab} 因此三角形的面积S为 S = frac{1}{2}ab sin(C) = frac{1}{4}sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 2a^2b^2 2b^2c^2 2c^2a^2} = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 最后的等号部分可用因式分解予以导出。