设函数y=f(x+y)

已知函数y=f(x)(x不等于0)满

已知函数y=f(x) (x不等于0) 满足对任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y) 1、求证 f(1)＝f(-1)=0 2、求证 y=f(x) 是偶函数 3、若 y=f(x)在（0，正无穷）上是增函数，解不等式 f(x)+f(x-1/2)<0 1)。 令x=y=1得，f(1)=f(1)+f(1) ,所以f(1)=0 　　令x=y=-1 得，f(1)=f(-1)+f(-1)　，所以f(-1)=0 2)。令y=-1得:f(-x)＝f(x)+f(-1) ,所以 f(-x)＝f(x) 　　所以y=f(x)是偶函数 3)。 先证明f(x)在(-∝,0)上是减函数 设0＜x1＜x2...全部

  已知函数y=f(x) (x不等于0) 满足对任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y) 1、求证 f(1)＝f(-1)=0 2、求证 y=f(x) 是偶函数 3、若 y=f(x)在（0，正无穷）上是增函数，解不等式 f(x)+f(x-1/2)<0 1)。
  令x=y=1得，f(1)=f(1)+f(1) ,所以f(1)=0 　　令x=y=-1 得，f(1)=f(-1)+f(-1)　，所以f(-1)=0 2)。令y=-1得:f(-x)＝f(x)+f(-1) ,所以 f(-x)＝f(x) 　　所以y=f(x)是偶函数 3)。
  先证明f(x)在(-∝,0)上是减函数 设0＜x1＜x2　，由已知得：f(x1)＜f(x2) 因为f(x)是偶函数，所以得：f(-x1)＜f(-x2) 但是此时-x1＞-x2＞0 ,所以f(x)在(-∝,0)上是减函数 令y=x- 1/2得：f(x(x-1/2))＝f(x) +f(x-1/2) 因为f(x)+f(x-1/2)＜0 ，f(1)=f(-1)=0 所以 f(x(x-1/2))＜f(1)或f(x(x-1/2))＜f(-1) 因为y=f(x)在（0,+∝）上是增函数,在(-∝,0)上是减函数 所以0＜x(x-1/2)＜1或-1＜x(x-1/2)＜0 即-1＜x(x-1/2)＜1且x(x-1/2)≠0 解得：(1-√17)/4 ＜x＜(1+√17)/4且x≠0,x≠1/2 。
  收起