高数1.若函数f(x)在（a,b）内具
1、
证明：因f (x)在[x1,x2]上连续，在(x1,x2)内可导，又f (x1) = f (x2)
由罗尔定理可得，在(x1,x2)内至少有一点ξ1，使得f '(ξ1)=0。
同理可证，在(x2,x3)内至少有一点ξ2，使f'(ξ2)=0
对f'(x)在(ξ1，ξ2)(x1＜ξ1＜ξ2＜x3)内使用罗尔定理，得到在(ξ1，ξ2)即在(x1,x3)至少存在一点ξ，使f "(ξ)=0
2、令f(x)=arctanx，不妨设a＞b
由拉格朗日定理可得：
在(b,a)中至少存在一点,使f(a)-f(b)=f '(ξ)(a-b)
f'(ξ)=1/(1+ξ^2)≤1
f(a)-f(b)≤（a...全部
1、
证明：因f (x)在[x1,x2]上连续，在(x1,x2)内可导，又f (x1) = f (x2)
由罗尔定理可得，在(x1,x2)内至少有一点ξ1，使得f '(ξ1)=0。
同理可证，在(x2,x3)内至少有一点ξ2，使f'(ξ2)=0
对f'(x)在(ξ1，ξ2)(x1＜ξ1＜ξ2＜x3)内使用罗尔定理，得到在(ξ1，ξ2)即在(x1,x3)至少存在一点ξ，使f "(ξ)=0
2、令f(x)=arctanx，不妨设a＞b
由拉格朗日定理可得：
在(b,a)中至少存在一点,使f(a)-f(b)=f '(ξ)(a-b)
f'(ξ)=1/(1+ξ^2)≤1
f(a)-f(b)≤（a-b),即arctana-arctanb≤a-b
当a＜b时也同理可证
所以|arctana-arctanb|≤|a-b|
3、设函数f(x)=tanx/x,
f'(x)=[x(sec2x)^2-tanx]/x^2=g(x)/x^2
g'(x)=(sec2x)^2+2xtanx(sec2x)^2-sec^2x=2xsec^2xtanx>0
所以g(x)>g(0)=0,f'(x)>0，f(x)是增函数，所以
tanx2/x2>tanx1/x1
故tanx2/tanx1>x2/x1
。收起
