高中数学-导数
1。 导数(导函数的简称)的定义:设 是函数 定义域的一点,如果自变量 在 处有增量 ,则函数值 也引起相应的增量 ;比值 称为函数 在点 到 之间的平均变化率;如果极限 存在,则称函数 在点 处可导,并把这个极限叫做 在 处的导数,记作 或 ,即 = 。
注:① 是增量,我们也称为“改变量”,因为 可正,可负,但不为零。
②以知函数 定义域为 , 的定义域为 ,则 与 关系为 。
2。 函数 在点 处连续与点 处可导的关系:
⑴函数 在点 处连续是 在点 处可导的必要不充分条件。
可以证明,如果 在点 处可导,那么 点 处连续。
事实上,令 ,则 相当于 。
于是
⑵如果 点 处...全部
1。 导数(导函数的简称)的定义:设 是函数 定义域的一点,如果自变量 在 处有增量 ,则函数值 也引起相应的增量 ;比值 称为函数 在点 到 之间的平均变化率;如果极限 存在,则称函数 在点 处可导,并把这个极限叫做 在 处的导数,记作 或 ,即 = 。
注:① 是增量,我们也称为“改变量”,因为 可正,可负,但不为零。
②以知函数 定义域为 , 的定义域为 ,则 与 关系为 。
2。 函数 在点 处连续与点 处可导的关系:
⑴函数 在点 处连续是 在点 处可导的必要不充分条件。
可以证明,如果 在点 处可导,那么 点 处连续。
事实上,令 ,则 相当于 。
于是
⑵如果 点 处连续,那么 在点 处可导,是不成立的。
例: 在点 处连续,但在点 处不可导,因为 ,当 >0时, ;当 <0时, ,故 不存在。
注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数。
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数。
3。 导数的几何意义:
函数 在点 处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的斜率,也就是说,曲线 在点P 处的切线的斜率是 ,切线方程为
4。
求导数的四则运算法则:
( 为常数)
注:① 必须是可导函数。
②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导。
例如:设 , ,则 在 处均不可导,但它们和
在 处均可导。
5。 复合函数的求导法则: 或
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形。
6。 函数单调性:
⑴函数单调性的判定方法:设函数 在某个区间内可导,如果 >0,则 为增函数;如果 <0,则 为减函数。
⑵常数的判定方法;
如果函数 在区间 内恒有 =0,则 为常数。
注:① 是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如 在 上并不是都有 ,有一个点例外即x=0时f(x) = 0,同样 是f(x)递减的充分非必要条件。
②一般地,如果f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的。
7。 极值的判别方法:(极值是在 附近所有的点,都有 < ,则 是函数 的极大值,极小值同理)
当函数 在点 处连续时,
①如果在 附近的左侧 >0,右侧 <0,那么 是极大值;
②如果在 附近的左侧 <0,右侧 >0,那么 是极小值。
也就是说 是极值点的充分条件是 点两侧导数异号,而不是 =0①。 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点②。 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同)。
注①: 若点 是可导函数 的极值点,则 =0。 但反过来不一定成立。 对于可导函数,其一点 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零。
例如:函数 , 使 =0,但 不是极值点。
②例如:函数 ,在点 处不可导,但点 是函数的极小值点。
8。 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较。
注:函数的极值点一定有意义。
9。
几种常见的函数导数:
I。 ( 为常数)
( )
II。
III。
求导的常见方法:
①常用结论: 。
②形如 或 两边同取自然对数,可转化求代数和形式。
③无理函数或形如 这类函数,如 取自然对数之后可变形为 ,对两边求导可得 。
例题: 函数 ,在曲线 上的点 处的切线方程为y=3x+1.
(1)若 时有极值,求 的表达式;
(2)在(1)的条件下,若对于任意 都有 成立, 求实数 的取值范围;
(3)若函数 在区间[-2,1]上单调递增,求b的取值范围。
。收起