一道数学题
若函数y=[(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3]^(1/3)的值域为R,则实数a的值为_______.谁能解释的再清楚一些
全部回答
记u=(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3，那么y=[(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3]^(1/3)=u^(1/3)。
如果 u=(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3 的值域为(a,b)，则函数y=[(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3]^(1/3)的值域为(a^(1/3),b^(1/3))。
而如果a^2-3a+2≠0，那么函数u=(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3属于【半有界】，即 ①当a^2-3a+2＞0时，u=(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3是开口向上的抛物线，函数u=(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3必有下界m。
那么给定函数之值域为[m^(1/3),+∞)，不是R； ②当a^2-3a+2＜0时，u=(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3是开口向下的抛物线，函数u=(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3必有上界M。
那么给定函数之值域为(-∞,M^(1/3)]，不是R。 所以要使给定函数之值域是R，必满足 a^2-3a+2=0，即 a=1 或 a=2。 但是，当a=2时，代入函数式，得 y=3^(1/3)，函数是常数函数，值域只有一个点，也不是R。
所以只可能有唯一的情况，即 当且仅当 a=1 时，此时 u=x+3，值域为(-∞,+∞)，即R， 对应地 y=[(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3]^(1/3)=u^(1/3) 的值域为R。
还有什么不清楚可以继续问！。
而如果a^2-3a+2≠0，那么函数u=(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3属于【半有界】，即 ①当a^2-3a+2＞0时，u=(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3是开口向上的抛物线，函数u=(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3必有下界m。
那么给定函数之值域为[m^(1/3),+∞)，不是R； ②当a^2-3a+2＜0时，u=(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3是开口向下的抛物线，函数u=(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3必有上界M。
那么给定函数之值域为(-∞,M^(1/3)]，不是R。 所以要使给定函数之值域是R，必满足 a^2-3a+2=0，即 a=1 或 a=2。 但是，当a=2时，代入函数式，得 y=3^(1/3)，函数是常数函数，值域只有一个点，也不是R。
所以只可能有唯一的情况，即 当且仅当 a=1 时，此时 u=x+3，值域为(-∞,+∞)，即R， 对应地 y=[(a^2-3a+2)x^2-(a-2)x+3]^(1/3)=u^(1/3) 的值域为R。
还有什么不清楚可以继续问！。
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