a*a*a*a+a*a*a+a*a+a+
设a为正整数,a^4+a^3+a^2+a+1=b^2,其中b为正整数。
1。
b^2≡0,1(4),而2|a^4+a^3+a^2+a
==>
a^4+a^3+a^2+a≡0(4),b^2≡1(2)。
2。
显然a|(b-1)(b+1)。
3。
a^4+a^3+a^2+a+1=b^2==>
(2a^2+a+2-2b)(2a^2+a+2+2b)=5a^2
4。
设(a,2)>1,
==>a=4c
==>[8c^2+c+(1-b)/2][8c^2+c+(1+b)/2]=5c^2
由于c|[(1-b)/2][(1+b)/2],
设c=uv,(b-1)/2=um,(1+b)/2=vn。
由于...全部
设a为正整数,a^4+a^3+a^2+a+1=b^2,其中b为正整数。
1。
b^2≡0,1(4),而2|a^4+a^3+a^2+a
==>
a^4+a^3+a^2+a≡0(4),b^2≡1(2)。
2。
显然a|(b-1)(b+1)。
3。
a^4+a^3+a^2+a+1=b^2==>
(2a^2+a+2-2b)(2a^2+a+2+2b)=5a^2
4。
设(a,2)>1,
==>a=4c
==>[8c^2+c+(1-b)/2][8c^2+c+(1+b)/2]=5c^2
由于c|[(1-b)/2][(1+b)/2],
设c=uv,(b-1)/2=um,(1+b)/2=vn。
由于((b-1)/2,(1+b)/2)=1
==>
(u,v)=(u,n)=(v,m)=1。
==>
[8(uv)^2+uv-um][8(uv)^2+uv+vn]=5(uv)^2
==>
[8uv^2+v-m][8u^2v+u+n]=5uv
由于
(8uv^2+v-m,v)=(8u^2v+u+n,u)=1
==>
v|8u^2v+u+n,而8u^2v+u+n>v
==>
8u^2v+u+n=5v==>
0=[8u^2-5]v+u+n>0矛盾,所以(a,2)=1。
5。
设(a,2)=1,
设a=uv,b-1=um,1+b=vn。
由于(b-1,1+b)=2
==>
(u,v)=(u,n)=(v,m)=1。
==>
[2(uv)^2+uv-2um][2(uv)^2+uv+2vn]=5(uv)^2
==>
[2uv^2+v-2m][2u^2v+u+2n]=5uv
由于
(2uv^2+v-2m,v)=(2u^2v+u+2n,u)=1
==>
v|2u^2v+u+2n,u|2uv^2+v-2m
而2u^2v+u+2n>v
==>
2u^2v+u+2n=5v,u=2uv^2+v-2m==>
0=[2u^2-5]v+u+2n
==>
2u^2-5
u=1
==>
1+2n=3v,1=2v^2+v-2m,a=v,b-1=m,1+b=vn。
==>
v=3,n=4,m=10
==>
a=3。
a为正整数时,只有a=3时,a^4+a^3+a^2+a+1,为一个完全平方数。
若条件是a为整数,则用上面的方法可得:
只有a=-1,0,3时,a^4+a^3+a^2+a+1,为一个完全平方数。
。收起
