概率设随机变量X～N(0,1),Y各以0.5的概率取值±1,且假定X与Y相互独立。令Z=XY
证明：X与Z不独立
根据全概率公式有：
FZ(z)=P(Z≤z)=P(XY≤z)
=P(Y=1)P(XY≤z|Y=1)+P(Y=-1)P(XY≤z|Y=-1)
=P(Y=1)P(X≤z)+P(Y=-1)P(X≥-z)
=0。 5Φ(z)+0。5[1-Φ(-z)]
=0。5Φ(z)+0。5Φ(z)=Φ(z)
则Z～N(0,1)
下面我们来说明X与Z是不独立的,依然依据全概率公式有：
P(X≤1,Z≥1)
=P(Y=1)P(X≤1,Z≥1|Y=1)+P(Y=-1)P(X≤1,Z≥1|Y=-1)
=0。 5P(X≤1,X≥1)+0。5P(X≤1,X≤-1)
=0。5P(X=1)+0。5P(X≤-1)=0。5Φ(...全部
根据全概率公式有：
FZ(z)=P(Z≤z)=P(XY≤z)
=P(Y=1)P(XY≤z|Y=1)+P(Y=-1)P(XY≤z|Y=-1)
=P(Y=1)P(X≤z)+P(Y=-1)P(X≥-z)
=0。
5Φ(z)+0。5[1-Φ(-z)]
=0。5Φ(z)+0。5Φ(z)=Φ(z)
则Z～N(0,1)
下面我们来说明X与Z是不独立的,依然依据全概率公式有：
P(X≤1,Z≥1)
=P(Y=1)P(X≤1,Z≥1|Y=1)+P(Y=-1)P(X≤1,Z≥1|Y=-1)
=0。
5P(X≤1,X≥1)+0。5P(X≤1,X≤-1)
=0。5P(X=1)+0。5P(X≤-1)=0。5Φ(-1)
=0。5[1-Φ(1)]
而P(X≤1)P(Z≥1)=Φ(1)[1-Φ(1)]
查表得:Φ(1)=0。
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从而P(X≤1,Z≥1)≠P(X≤1)P(Z≥1)
故X与Z不独立
。收起
