证明设{Xn},{Yn}是两个随机变量序列,a,b是两个常数
如果Zn,Yn分别依概率收敛到a,b
则有:
(1)Xn±Yn依概率收敛到a±b
(2)Xn*Yn依概率收敛到a*b
(3)Xn/Yn依概率收敛到a/b(b≠0)
证明:
(1)因为{|(Xn+Yn)-(a+b)|≥ε}⊂{(|Xn-a|≥ε/2)∪(|Yn-b|≥ε/2)}
如若不然,则|Xn-a|0,有P(|X²n|≥ε)=P(|Zn|≥√ε)→0(n→∞)
(Ⅱ)若Xn依概率收敛于a,则有cXn依概率收敛于ca
这是因为:
若c=0时,P(|cXn-ca|=0≥ε)=0结论显然成立(因为ε>0)
若c≠0时,P(|cXn-ca|≥ε)=P(|Xn-a|≥ε/c)→0(n→∞)
(Ⅲ)若Xn依概率收敛于a,则有X²n依概率收敛于a²
这是因为:
Xn-a依概率收敛于0,(Xn-a)²依概率收敛于...全部
证明:
(1)因为{|(Xn+Yn)-(a+b)|≥ε}⊂{(|Xn-a|≥ε/2)∪(|Yn-b|≥ε/2)}
如若不然,则|Xn-a|0,有P(|X²n|≥ε)=P(|Zn|≥√ε)→0(n→∞)
(Ⅱ)若Xn依概率收敛于a,则有cXn依概率收敛于ca
这是因为:
若c=0时,P(|cXn-ca|=0≥ε)=0结论显然成立(因为ε>0)
若c≠0时,P(|cXn-ca|≥ε)=P(|Xn-a|≥ε/c)→0(n→∞)
(Ⅲ)若Xn依概率收敛于a,则有X²n依概率收敛于a²
这是因为:
Xn-a依概率收敛于0,(Xn-a)²依概率收敛于0,2a(Xn-a)依概率收敛于0,于是X²n-a²=(Xn-a)²+2a(Xn-a)依概率收敛于0
即X²n依概率收敛于a²
(Ⅳ)根据(Ⅲ)以及(1)我们有
X²n依概率收敛于a²,Y²n依概率收敛于b²,(Xn+Yn)²依概率收敛于(a+b)²
于是Xn*Yn=[(Xn+Yn)²-X²n-Y²n]/2依概率收敛于[(a+b)²-a²-b²]/2=a*b
(3)为了证明Xn/Yn依概率收敛于a/b
我们先证:1/Yn依概率收敛于1/b
这是因为:不妨设εb²-|b|ε>0,
ε≤|(Yn-b)/(Yn*b)|=|(Yn-b)/[b²+b(Yn-b)]|<|Yn-b|/(b²-|b|ε)
从而事件{|Yn-b|/(b²-|b|ε)≥ε}一定发生
则P(|(Yn-b)/(Yn*b)|≥ε,|Yn-b|<ε)≤P{|Yn-b|/(b²-|b|ε)≥ε}
于是P(|1/Yn-1/b|≥ε)=P(|(Yn-b)/(Yn*b)|≥ε)
≤P({|Yn-b|/(b²-|b|ε)≥ε})+P(|Yn-b|≥ε)
=P(|Yn-b|≥(b²-|b|ε)ε)+P(|Yn-b|≥ε)→0(n→∞)
这就证明了1/Yn依概率收敛于1/b
又Xn依概率收敛于a,据性质(2)我们有Xn/Yn依概率收敛于a/b
证毕。
。收起