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求Sn=1+2x+3x^2+4x^3+……+nx^(n-1)

求Sn=1+2x+3x^2+4x^3+……+nx^(n-1)

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2011-04-17

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  Sn=1+2x+3x^2+4x^3+……+nx^(n-1) (1)x=0时，Sn=1(*) (2)x=1时，Sn=1+2+……+n=n(n+1)/2 (**) (3)x≠1时, xSn=x+2x^2+3x^3+4x^4+……+nx^n 两式相减， (1-x)Sn=1+x+x^2+……+x^(n-1)-nx^n=(1-x^n)/(1-x)-nx^n Sn=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x) (***) 。
  

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2011-04-17

120 0

解：令f(x)=x+x^2+x^3+x^4+……+x^(n-1)+x^n=(x-x^(n+1))/(1-x) 而Sn=f'(x). 从而，Sn=（1+nx^(n+1)-(n+1)x^n）/(1-x)^2

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2011-04-17

137 0

  Sn=1+2x+3x^2+4x^3+……+nx^(n-1)···①, xSn=x+2x^2+3x^3+4x^4+……+(n-1)x^(n-1)+nx^n···②, ①-②,得 (1-x)Sn=1+x+x^2+x^3+……+x^(n-1)-nx^n =(1-x^n)/(1-x)-nx^n, Sn=[(1-x^n)/(1-x)^2]-[nx^n/(1-x)] =[(1-x^n)-(1-x)nx^n]/(1-x)^2 。
  

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2011-04-17

132 0

    这种可化为等比数列的问题要分类讨论： (1)x=0时，Sn=1 (2)x=1时，Sn=1+2+……+n=n(n+1)/2 (3)x≠1时, Sn=1+2x+3x^2+4x^3+……+nx^(n-1) （1） 两边都乘以x得 xSn= x+2x^2+3x^3+……+(n-1)x^(n-1)+nx^n （2） （1）-（2）得 （1-x）Sn=1+x+x^2+x^3+……+x^(n-1)-nx^n =1（1-x^n）/(1-x) -nx^n 所以Sn=（1-x^n）/(1-x)^2=[nx^(n+1)-(1+n)x^n+1]/(1-x)^2 以后所有形如这类不是很标准的等比数列都可以用这种“错位相乘再想减法”。
    。

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2011-04-17

119 0

Sn=1+2x+3x^2+4x^3+……+nx^（n-1）反过来写 Sn=nx^（n-1）+...+4x^3+3x^2+2x+1,将两式相加，得到2Sn=n (1+n xn-1) Sn=n (1+n xn-1) /2

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