一道极限题
lin(n→∞){n^(-k-1)∫(0,1)[(-lnx)^(k-1)*(1-x^n)/(1-x)]dx}=?. 其中，1＞k＞0.
全部回答
应该是n^(k-1)吧，否则极限就是0了
证明：
为了证明上述命题我们引入Stolz定理
设bn<b(n+1)，(n=1,2,3……)，bn→+∞,当n→∞时
如果[a(n+1)-an]/[b(n+1)-bn]→a（或者+∞），当n→∞时
则an/bn→a（或者+∞），当n→∞时
注意这里只要求分母→∞!!!
这里就不给出证明了，要看详细证明的话，可以去看看数分书
下面来求
lim{n^(k-1)∫(0,1)[(-lnx)^(k-1)*(1-x^n)/(1-x)]dx}，n→∞
这里由于0<k<1
则当n→∞时
lim{n^(k-1)∫(0,1)[(-lnx)^(k-1)*(1-x^n)/(1-x)]dx}
=lim∫(0,1)[(-lnx)^(k-1)*(1-x^n)/(1-x)]dx/n^(1-k)
这里an=∫(0,1)[(-lnx)^(k-1)*(1-x^n)/(1-x)]dx,bn=n^(1-k)满足上述定理的条件
且a(n+1)-an=∫(0,1)[(-lnx)^(k-1)*x^n]dx
b(n+1)-bn=(n+1)^(1-k)-n^(1-k)=n^(1-k)*[(1+1/n)^(1-k)-1]
等价于n^(1-k)*(1-k)/n=(1-k)/n^k=(1-k)*n^-k,当n→∞时
而对于a(n+1)-an=∫(0,1)[(-lnx)^(k-1)*x^n]dx
我们令t=-lnx,则x=e^-t,dx=-e^-tdt
于是a(n+1)-an=∫(0,+∞)[t^(k-1)*e^-(n+1)t]dt
再作变换u=(n+1)t
得：a(n+1)-an=[(n+1)^-k]*∫(0,+∞)[u^(k-1)*e^-u]du
=[(n+1)^-k]Γ(k)
从而[a(n+1)-an]/[b(n+1)-bn]→Γ(k)/(1-k),n→∞时
根据Stolz定理我们有an/bn→Γ(k)/(1-k),n→∞时
证毕。
。
。
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