设a,b,c都是实数,且方程(a
证明:二次方程有实数根,则必须有判别式⊿≥0
⊿=4b^2*(a+c)^2-4(a^2+b^2)(b^2+c^2)
=4[(a^2*b^2+2acb^2+b^2*c^2)-(a^2*b^2+b^4+a^2*c^2+b^2*c^2)]
=4[-b^4 + 2acb^2 - a^2*c^2]
=-4(ac-b^2)^2≥0
即:(ac-b^2)^2≤0
只能是:ac-b^2=0
即:b^2=ac,
所以a、b、c成等比数列。 ,公比是b/a,
将b^2=ac代入原方程得:(a^2+ac)x^2-2b(a+c)x+ac+c^2=0
即:a(a+c)x^2 -2b(a+c)x +c(a+c)=...全部
证明:二次方程有实数根,则必须有判别式⊿≥0
⊿=4b^2*(a+c)^2-4(a^2+b^2)(b^2+c^2)
=4[(a^2*b^2+2acb^2+b^2*c^2)-(a^2*b^2+b^4+a^2*c^2+b^2*c^2)]
=4[-b^4 + 2acb^2 - a^2*c^2]
=-4(ac-b^2)^2≥0
即:(ac-b^2)^2≤0
只能是:ac-b^2=0
即:b^2=ac,
所以a、b、c成等比数列。
,公比是b/a,
将b^2=ac代入原方程得:(a^2+ac)x^2-2b(a+c)x+ac+c^2=0
即:a(a+c)x^2 -2b(a+c)x +c(a+c)=0
所以,原方程就化成:ax^2-2bx+c=0,
⊿=0,它有相等实数根,设为x1=x2=x,
由韦达定理得:x1+x2=2b/a, 而 x1+x2=2x
故 2x=2b/a,即 x=b/a,
所以有最后结论:a,b,c成等比数列,且公比为x
。
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