证明n是整数，n的5次方-n,证明可被30整除
证明：（1）当n=0时，显然n^5-n可被30整除。
(2)n为正整数时，
n^5-n
=n(n^4-1)
=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
易知(n-1)n(n+1)能被6整除，故n^5-n能被6整除。
记r=n(mod 5)，r=0,1,2,3,4。
(n-1)n(n+1)(n^2+1) (mod 5)
=(r-1)r(r+1)(r^2+1) (mod 5)
当r=0,1,4时,(r-1)r(r+1)能被5整除；
当r=2,3时，r^2+1能被5整除。
故(r-1)r(r+1)(r^2+1) (mod 5)=0，所以n^5-n可被30整除。
(3)n为负整数时，记f(n)...全部
证明：（1）当n=0时，显然n^5-n可被30整除。
(2)n为正整数时，
n^5-n
=n(n^4-1)
=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
易知(n-1)n(n+1)能被6整除，故n^5-n能被6整除。
记r=n(mod 5)，r=0,1,2,3,4。
(n-1)n(n+1)(n^2+1) (mod 5)
=(r-1)r(r+1)(r^2+1) (mod 5)
当r=0,1,4时,(r-1)r(r+1)能被5整除；
当r=2,3时，r^2+1能被5整除。
故(r-1)r(r+1)(r^2+1) (mod 5)=0，所以n^5-n可被30整除。
(3)n为负整数时，记f(n)=n^5-n,则f(n)=-f(-n),由（2）知f(-n) 可被5整除，所以f(n)即n^5-n也可被5整除。
综上所述，n为整数时，n^5-n可被5整除。
。收起
