距离已知三角形ABC的顶点A(1,2)
一样的题目,只是字母换了一下:
△ABC中,B(1,2),C(-1,-1),直线l:2x+y+1=0是△ABC的内角A的平分线,求点A的坐标
答：A（1/3，-5/3）
解法一：设l:2x+y+1=0与Y轴的交点为D，则D的坐标为：D（0，-1），又设点A的坐标为（a，b），则由已知条件，得
2a+b+1=0
b=-2a-1。 。。。。。(1)
AB的方程为：(y-2)/(x-1)=(b-2)/(a-1)
[(b-2)/(a-1)]x-y+(2a-b)/(a-1)=0
D到AB的距离Dab=|1+(2a-b)/(a-1)|/√{[（b-2)/(a-1)]^2+1}
同理AC的方程为：[(...全部
一样的题目,只是字母换了一下:
△ABC中,B(1,2),C(-1,-1),直线l:2x+y+1=0是△ABC的内角A的平分线,求点A的坐标
答：A（1/3，-5/3）
解法一：设l:2x+y+1=0与Y轴的交点为D，则D的坐标为：D（0，-1），又设点A的坐标为（a，b），则由已知条件，得
2a+b+1=0
b=-2a-1。
。。。。。(1)
AB的方程为：(y-2)/(x-1)=(b-2)/(a-1)
[(b-2)/(a-1)]x-y+(2a-b)/(a-1)=0
D到AB的距离Dab=|1+(2a-b)/(a-1)|/√{[（b-2)/(a-1)]^2+1}
同理AC的方程为：[(b+1)/(a+1)]x-y+(b-a)/(a+1)=0
D到AC的距离Dac=|1+(b-a)/(a+1)|/√{[（b+1)/(a+1)]^2+1}
由已知条件，得
Dab=Dac
|1+(2a-b)/(a-1)|/√{[（b-2)/(a-1)]^2+1}=|1+(b-a)/(a+1)|/√{[（b+1)/(a+1)]^2+1}。
。。。。。(2)
（1）代入（2），化简得
（3a-1）*（7a+3）=0
a1=1/3,a2=-7/3
b1=-2a-1=-5/3,b2=11/3
A1（1/3，-5/3），A2（-7/3，11/3）
检验：
（1）A1（1/3，-5/3）
AB的方程为：[(b-2)/(a-1)]x-y+(2a-b)/(a-1)=0
11x-2y-7-0
D(0,-1)到AB的距离Dab=|2-7|/√(121+4)=√5/5
AC的方程为：[(b+1)/(a+1)]x-y+(b-a)/(a+1)=0
x+2y+3=0
D(0,-1)到AC的距离Dac=|-2+3|/√（1+4)=√5/5
Dab=Dac
(2)A2（-7/3，11/3）
AB的方程为：[(b-2)/(a-1)]x-y+(2a-b)/(a-1)=0
x+2Y+5=0
D(0,-1)到AB的距离Dab=|-2+5|/√(1+4)=3√5/5
AC的方程为：[(b+1)/(a+1)]x-y+(b-a)/(a+1)=0
7x+2y+9=0
D(0,-1)到AC的距离Dac=|-2+9|/√（49+4)=7√53/53
Dab≠Dac，不符合已知条件。
故A（1/3，-5/3）
解法二：设斜率为K，点A的坐标为（a，b）， 则
已知A在直线l:2x+y+1=0上
2a+b+1=0
b=-2a-1。。。。。。(3)
Kl=-2
Kab=(b-2)/(a-1)
Kac=（b+1)/(a+1)
设AC、l及AB与X轴的倾角为∠AC、∠l、∠AB，l与BC的交点为D，则
∠DAC=∠DAB
∠DAC=∠AC-∠l，∠DAB=∠l-∠AB
∠AC-∠l=∠l-∠AB
tg（∠AC-∠l）=tg（∠l-∠AB）
（tg∠AC-tg∠l）/（1-tg∠AC*tg∠l）=（tg∠l-tg∠AB）/（1-tg∠l*tg∠AB）
tg∠AC=Kac，tg∠l=Kl，tg∠AB=Kab
（Kac-Kl）/（1-Kl*Kac）=（Kl-Kab）/（1-Kl*Kab）
[（b+1)/(a+1)+2]/[1-2*（b+1）/（a+1）]=[-2-（b-2）/（a-1）]/[1-2*（b-2）/（a-1）]。
。。。。。
(4)
（3）代入（4），解得
a=1/3,b=-5/3
故A（1/3，-5/3）
检验：A（1/3，-5/3）
设2x+y+1=0与Y轴的交点为D，则D的坐标为：D（0，-1）
AB的方程为：11x-2y-7-0
D(0,-1)到AB的距离Dab=|2-7|/√(121+4)=√5/5
AC的方程为：x+2y+3=0
D(0,-1)到AC的距离Dac=|-2+3|/√（1+4)=√5/5
Dab=Dac
推荐方法二。收起
