高二数学已知函数f(x)=(x^
已知函数f(x) =(x^2 -3x +3)*e^x 定义域为[-2,t] (t＞-2),
设f(-2)=m, f(t)=n
(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数
f'(x) =x(x -1)*e^x
f'(-2) =6*e^(-2)＞0
由f'(x) =x(x -1)*e^x≥0
得x≤0 或 x≥1
从而-2＜t≤0
所以函数f(x)在[-2,t]上为单调递增
(2)求证:n＞m
∵在[-2,t]上，函数f(x)在[-2,t]上为单调递增
∴f(-2) ＜ f(t)
即 m ＜ n
(3)对于任意的t＞-2，总存在x∈(-2，t）
满足f'(x)/e^x...全部
已知函数f(x) =(x^2 -3x +3)*e^x 定义域为[-2,t] (t＞-2),
设f(-2)=m, f(t)=n
(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数
f'(x) =x(x -1)*e^x
f'(-2) =6*e^(-2)＞0
由f'(x) =x(x -1)*e^x≥0
得x≤0 或 x≥1
从而-2＜t≤0
所以函数f(x)在[-2,t]上为单调递增
(2)求证:n＞m
∵在[-2,t]上，函数f(x)在[-2,t]上为单调递增
∴f(-2) ＜ f(t)
即 m ＜ n
(3)对于任意的t＞-2，总存在x∈(-2，t）
满足f'(x)/e^x = (2/3)(t-1)^2,并确定这样的x的个数
f'(x)/e^x = x(x -1) = (x -1/2)^2 -1/4
【图解法】
在同一平面直角坐标系O-XY中，画出两个函数图像
C1: h(x) =(2/3)(x-1)^2
C2: k(x) =(x -1/2)^2 -1/4
C1与C2交于两点A(-2,6)、B(1,0)
根据图像容易看出
当-2＜t≤1时,
在区间x∈(-2,t)上
抛物线C2上只有一点与抛物线C1上的点(t ,h(t))等高。
即存在一个x∈(-2,t),
满足f'(x)/e^x = (2/3)(t-1)^2 。
当1＜t＜4时,
在区间x∈(-2,t)上
抛物线C2上只有两点与抛物线C1上的点(t ,h(t))等高。
即存在两个x∈(-2,t),
满足f'(x)/e^x = (2/3)(t-1)^2 。
当t≥4时,
在区间x∈(-2,t)上
抛物线C2上只有一点与抛物线C1上的点(t ,h(t))等高。
即存在一个x∈(-2,t),
满足f'(x)/e^x = (2/3)(t-1)^2 。收起
