已知三角形ABC内接与椭圆(a>b>0),且三角形ABC的重心G落在坐标原点O,则三角形ABC的面积为______.为什么??
通过缩放变换把椭圆变换为半径为r的圆 则S椭圆/S圆=ab/r^2 变换后三角形重心为圆心,即三角形为圆内接正三角形 S△'=3√3/4*r^2 缩放变换面积比不发生变化, 所以原三角形面积: S△=S△'*ab/r^2=3√3/4*ab
设A(acosα,bsiα),B(acosβ,bsinβ),C(acosγ,bsinγ)。
∵△ABC的重心为原点O,
∴cosα+cosβ+cosγ=0,
sinα+sinβ+sinγ=0。
∴cosβ+cosγ=-cosα,(1)
sinβ+sinγ=-sinα,(2)
(1)^2+(2)^2,2+cos(β-γ)=1,
cos(β-γ)=-1/2,
|sin(β-γ)|=(√3)/2。
△ABC的面积=1/2*
|acosα acosβ acosγ|
|bsinα bsinβ bsinγ|
|1 1 1 |的绝对值
=ab/2*
|0 cosβ cosγ|
|0 sinβ sinγ|
|3 1 1 |的绝对值
=3ab|sin(β-γ)|/2
=3(√3)ab/4。
。