数学高手进！1.求下列各曲线所围成图形
1。求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积
(1)ρ=3cosа及ρ=1+cosа（a应是θ,但为方便跟你一样写）
(2)ρ=√2sinа及ρ2=cos2а前面的是根2
(1)解由方程
p=3cosa
p=1+cosa
得方程
a=π/3
a=-(π/3)
由对称性知(图自己画一下）
S=2[(∫上π/3∫0下)1/2（1+ cosa）^2da+(∫上π/2∫下π/3 )1/2(3 cosa)^2 da]
=(∫上π/3∫0下)[1+2cosa+（1+ cos2θ)/2]da+9(∫上π/2∫下π/3)[(1+ cos2a)/2]da
=(5/4)π
(2) 解由方程
p=√2sina
p...全部
1。求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积
(1)ρ=3cosа及ρ=1+cosа（a应是θ,但为方便跟你一样写）
(2)ρ=√2sinа及ρ2=cos2а前面的是根2
(1)解由方程
p=3cosa
p=1+cosa
得方程
a=π/3
a=-(π/3)
由对称性知(图自己画一下）
S=2[(∫上π/3∫0下)1/2（1+ cosa）^2da+(∫上π/2∫下π/3 )1/2(3 cosa)^2 da]
=(∫上π/3∫0下)[1+2cosa+（1+ cos2θ)/2]da+9(∫上π/2∫下π/3)[(1+ cos2a)/2]da
=(5/4)π
(2) 解由方程
p=√2sina
p^2= cos2a
得方程
a1=π/6
a2=5π/6
由对称性图自己画一下）
S=2[(∫上π/6∫0下)1/2×2sin^2ada+(∫上π/4∫下π/6)(1/2)cosada]
=2(∫上π/6∫0下)[( 1- cos2a)/2] da+(1/2)sin2a（Ι上π/4Ι下π/6）
=π/6+（1-√3）/2
这里要注意到y^2=cos2a≥0,0≤2a≤π/2,0≤a≤π/4
2。
由抛物线y^2=4αx与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值
(y2=4ax应是y^2=4αx）
解 过焦点（a，0）的弦的方程为y=(x-α) tanα其中a为弦的倾角
由方程
y=(x-α)tanα
y^2=4αx
得y1=2α(cotα-cscα), y2=2α(cotα+cscα) 且y1 于是
S=(∫上y2∫y1下)[ α+ycotα-(y^2/4α)]dy
=α(y2-y1)+(c0tα/2)(y2^2-y1^2)-[(y2^3-y1^3)/12α
=(8/3) α^2csc^3α
由0<α<π, 当α=π/2时，csc^3αα达最小值为1，故S的最小值为S最小=(8/3)α^2
。
收起
