求y=2x-x2,y=0,0≤x≤2 围成图形面积
你不用微积分解答也得用微积分的思想解答。最起码你要学过极限才能做这道题。分割区间[0,2]为相等的2n份，也就是把区间[0,1]划分为相等的n份，于是区间[0,1]内每一个端点就是：x(i) = i/n，i = 0, 1, 2, 。 。。 n。在第i 1个小区间上以区间 [x(i), x(i 1)]为底，f(x(i))为高作一个矩形，i = 0, 1, 2, 。。, n-1，于是区间[0,1]上图形的面积可以近似地用以下式子表达：Sum (i从0到n-1) [ x(i 1) - x(i) ] f (x(i))，当n趋于无穷大时，该和式的极限就等于函数在[0,1]区间上与x轴围成的面积。 ...全部
你不用微积分解答也得用微积分的思想解答。最起码你要学过极限才能做这道题。分割区间[0,2]为相等的2n份，也就是把区间[0,1]划分为相等的n份，于是区间[0,1]内每一个端点就是：x(i) = i/n，i = 0, 1, 2, 。
。。 n。在第i 1个小区间上以区间 [x(i), x(i 1)]为底，f(x(i))为高作一个矩形，i = 0, 1, 2, 。。, n-1，于是区间[0,1]上图形的面积可以近似地用以下式子表达：Sum (i从0到n-1) [ x(i 1) - x(i) ] f (x(i))，当n趋于无穷大时，该和式的极限就等于函数在[0,1]区间上与x轴围成的面积。
由于 x(i 1) - x(i) = 1/n, f(x(i)) = 2i/n - (i/n)^2，所以[ x(i 1) - x(i) ] f (x(i))= [ 2i/n - (i/n)^2 ] / n，i = 0, 1, 2, 。
。。。, n-1。第一项求和就是等差数列求和，所以S1 = Sum (i从0到n-1) 2i/n^2 = 2(n-1)n/2/n^2 = (n-1)/n，第二项求和要用到自然数平方和公式，于是S2 = Sum (i从0到n-1) i^2/n^3 = (n-1)n(2n-1)/(6n^3) = (n-1)(2n-1)/(6n^2)，于是，总面积S = 2 lim (n趋于无穷) (S1 S2) = 2 (1 - 1/3) = 4/3。
这和微积分算的结果一样。收起
