一阶微分方程求通解

什么是一阶线性微分方程？并写出

一、一阶线性微分方程的定义 　 定义：形如 的方程，称为一阶线性微分方程，其中p,q均为X 的连续函数。 注： 1。之所以称为线性，是指未知函数y及其导数y′都是一次的。 2。当q(x)=0时，有y′+py=0称为一阶线性齐次方程。 3。当q(x)≠0时，有y′+py=q称为一阶线性非齐次方程 　 二、一阶线性齐次微分方程的通解 　 对于一阶线性齐次微分方程y′+py=0，属于可分离变量的微分方程，其通解很容易解决，其解法如下： 将 分离变量得 两边积分得 所以其通解为 （其中C为任意实数） 　 三、一阶线性非齐次微分方程的通解： 　 不难看出，一阶线性齐次方程y′+py= 0是非齐次...全部

  一、一阶线性微分方程的定义 　 定义：形如 的方程，称为一阶线性微分方程，其中p,q均为X 的连续函数。 注： 1。之所以称为线性，是指未知函数y及其导数y′都是一次的。
   2。当q(x)=0时，有y′+py=0称为一阶线性齐次方程。 3。当q(x)≠0时，有y′+py=q称为一阶线性非齐次方程 　 二、一阶线性齐次微分方程的通解 　 对于一阶线性齐次微分方程y′+py=0，属于可分离变量的微分方程，其通解很容易解决，其解法如下： 将 分离变量得 两边积分得 所以其通解为 （其中C为任意实数） 　 三、一阶线性非齐次微分方程的通解： 　 不难看出，一阶线性齐次方程y′+py= 0是非齐次方程y′+py=q的特殊情况，两者既有联系又有差别。
   y′+py=0的通解 一定不是非齐次方程y′+py=q的解。由于非齐次方程y′+py=q的右端是x的函数q(x)，因此可设想将 中的常数C换成待定函数 c(x)后，使函数 是非齐次线性方程y′+py=q的解。
   在上述设想下，作如下推导： 令 为非齐次方程y′+py=q的解，将y及 y′= 代入方程y′+py=q中： 有 所以 于是，当C(x)取适当函数 时函数 一定是非齐次线性方程y′+py=q的解，即其通解为 说明:上述求得非齐次线性方程y′+py=q的通解的方法称为常数变易法。
   其通解 作为公式不易记忆，因此不提倡学生去背公式，要根据推导过程，即利用常数变易法来求解一阶线性非齐次方程。总结其步骤如下： 1、先求与其对应的齐次方程y′+py=0的通解为 2、再设一阶线性非齐次微分方程的解为 即将所求出的齐次方程通解中的积分常数C改为待定函数C（X），其方法叫做常数变易法。
   3、将所设的解及其导数代入非齐次线性微分方程，便可解出C（X）。于是可求出非齐次线性微分方程的通解。（注：该步骤代入后必有py与－py抵消，如果不能抵消。那么一定是相应的齐次微分方程的解不正确，或者是运算中有误）。
   　 四、举例 　 例1求方程 的通解 解（一）先求对应齐次方程 的通解 因为 ，所以 有y=cx (其中C为任意实数) 设原方程的解为y=c(x)x，则y′=c′(x)x+c(x)将y及 y′ 代入原方程有： 所以c′(x)=x, 故原方程的通解为 （其中C为任意实数） 解（二）直接代入公式求解 由于 所以 （C为任意常数） 例2解微分方程 解：先求对应齐次方程 的通解 因为 所以ln|y|=-ln|sinx|+lnc 齐次方程的通解为 设原方程的解为 将y及y′代入原方程有： 所以 故原方程的通解为 　 五、课堂练习 　 1、求解微分方程 2、求解微分方程 答案： 1、变形： 为一阶线性非齐次微分方程，先求对应齐次方程 通解。
   由于 所以有 故lny=lnx+lnc 齐次方程的通解为y=cx（c为任意常数） 设原方程的解为y=c(x)x则y′=c′(x)x+c（x） 代入原方程： 有 所以原方程的通解为： （C为任意实数） 2、变形： 为一阶线性非齐次微分方程。
   先求对应齐次方程 的通解 因为 故ln|y|=nln|x+1|+lnc 即 为齐次方程的通解 设原方程的解为 则 将y, y′代入原方程有： 则有： 即原方程的通解为 （C为任意实数） 来源: 。
  收起