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关于四面体外接球的题(华南理工大学2009自主招生选拔试题)

已知A,B,C,D,是某球面上不共面的四点,且AB=BC=AD=根号2,BD=AC=2,BC垂直于AD,求此球的表面积?请问这道题的“通法”是怎样的?

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2010-01-25

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    解:R=√6/2===>球的表面积=4πR^2=6π。 方法[通法]: 第一步:先画一个四面体,即三棱锥A-BCD, 第二步:由已知数据及条件,发现其中的垂直关系===>AB⊥BC,AD⊥AB,已知BC⊥AD,===>AD⊥平面ABC,[这是最重要一步] 此时,应重新画图,即把垂直位置画正确。
       第三步:计算。 Rt△ABC是在球面上的一个小圆的内接三角形, AC为直径,AC的中点O1为小圆的圆心。 ===>Rt△ADC在球面上的一个大圆的内接三角形, 球心为DC的中点,DC=√6为直径, ===>R=√6/2===>球的表面积=4πR^2=6π。
  

2010-01-25

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这道题的解法是先找球心,后求半径。 ∵AB=AD=√2,BD=2,∴AB^2+AD^2=BD^2,∴∠BAD=90°。 同理∠ABC=90°。 又BC⊥AD,∴BC⊥平面ABD,∴BC⊥BD,BC⊥AD, ∴CD的中点E到A,B,C,D四点的距离都相等。 CD=√(BC^2+BD^2)=√6.球半径R=(√6)/2, 此球的表面积是4πR^2=6π.

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