求最小值问题
己知抛物线y=x^2上有一个正方形的三个顶点A,B,C.求这个正方形面积的最小值.
全部回答
1。
(1+u^2)^2/u^2≥4，(1+u^2)/(u+1)^2≥1/2。
==>(1+u^2)^3/[u^2(u+1)^2]≥2。
(1+u^2)^3/[u^2(u+1)^2]只在u=1时，取最小值2。
2。
设A=（x1,(x1)^2),B=(x2,(x2)^2),C=(x3,(x3)^2),
且AB,AC为正方形的边。
可设x2>x1≥0,x1>x3
向量AB=(x2-x1)(1,x1+x2)垂直于向量AC=(x3-x1)(1,x1+x3),
则1+(x1+x2)(x1+x3)=0
设：x2=u-x1,则x3=-1/u-x1。
==>u>0,u>2x1。
3。
正方形面积=|AB|^2=|AC|^2=
=(x2-x1)^2(1+(x1+x2)^2)=(x3-x1)^2(1+(x1+x3)^2)
==>
(u-2x1)^2(1+u^2)=(1/u+2x1)^2(1+(1/u)^2)
==>
(u-2x1)^2(u^4)=(1+2ux1)^2
==>
2x1=(u^3-1)/(u^2+u)。
则正方形面积=
=|AB|^2=(1+u^2)^3/[u^2(u+1)^2]
而根据1。得：正方形面积取最小值2，（u=1）。
。
最小值是2。
设三个顶点坐标从左到右依次是C(c,c^2),A(a,a^2),B(b,b^2)。c1，否则AC比AB长。
AB和AC的夹角等于90°，所以得到关系式：
b^2 - a^2 = k(b - a)
a^2 - c^2 = -1/k(a - c)
即
a+b = k, a+c = -1/k
AB和AC的边长相等，所以
AB^2 = (b - a)^2(k^2 + 1) = AC^2 = (c - a)^2((-1/k)^2 + 1)
解出： b-a = k(a-c)
将a+b = k, a+c = -1/k代入，解得 a = (k - 1)/(2k + 2)
正方形面积 = AB^2
= (b - a)^2(k^2 + 1)
= (k^2 + 1)^3/(k + 1)^2
考虑到(k^2 + 1)/(k + 1)^2 >=1/2 （均值不等式）
k>1
正方形面积>2
所以最小时面积是2，当b = -1, a = 0, c = 1时取到。
。
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