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如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,2)三点

如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,2)三点(1)求出抛物线的解析式;(2)若抛物线的顶点为D,连接AD、DB、BC,求四边形ADBC的面积;(3)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由。

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2010-01-23

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    原题中,点C应该为:C(0,-2) (1)设y=a(x-1)(x-4),即y=ax^2-5ax+4a, 当x=0时,y=4a=-2,即a=-1/2,所以:    y=-(1/2)x^2+(5/2)x-2。
   (2)点D(5/2,9/8) 四边形ADBC的面积=三角形ABD的面积+三角形ABC的面积 =3*(9/8)/2+3*2/2=75/16。   (3)若存在,则 AM/OC=PM/OA 或者 AM/OA=PM/OC, 即:AM/2=PM/4 或者 AM/4=PM/2, 设M(t,0),则x=t时,|PM|=|-(1/2)t^2+(5/2)t-2|, |AM|=|t-4|,且t不等于0且t不等于4,否则P与A或C重合。
     [P与C重合时,两个三角形也重合为一个三角形] 第一种:AM/2=PM/4 ==>|PM|=2|AM| -(1/2)t^2+(5/2)t-2=2t-8 或 -(1/2)t^2+(5/2)t-2=8-2t ==>t=-3或t=4 或者 t=4或t=5===>t=-3或t=5,即此时两解; 第二种:AM/4=PM/2===>2|PM|=|AM| -t^2+5t-4=t-4 或者 -t^2+5t-4=4-t ==>t=0或t=4 或者 t=2或t=4===>t=2,即此时一解; 综上所述,共有三种情形:P(-3,1);P(5,-2);P(2,1)。
     。

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