数学

求解已知：如图一，在梯形ABCD中，A

已知：如图一，在梯形ABCD中，AD//BC,AB⊥BC,AB=4,AD=CD=5,点P在边BC上运动（点P不与点B、点C重合），一束光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E （1）当PE=CE时，求BP的长度 过点D作BC的垂线，垂足为H 则，四边形ABHD为矩形，△DHC为直角三角形 所以，DH=AB=4，BH=AD=5 在Rt△DHC中由勾股定理得到：CH^2=CD^2-DH^2=25-16=9 所以，CH=3 那么，BC=BH+CH=5+3=8 当PE=CE时，∠C=∠EPC 而根据光线反射的特性，∠EPC=∠APB 所以，∠APB=∠C 所以，...全部

  已知：如图一，在梯形ABCD中，AD//BC,AB⊥BC,AB=4,AD=CD=5,点P在边BC上运动（点P不与点B、点C重合），一束光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E （1）当PE=CE时，求BP的长度 过点D作BC的垂线，垂足为H 则，四边形ABHD为矩形，△DHC为直角三角形 所以，DH=AB=4，BH=AD=5 在Rt△DHC中由勾股定理得到：CH^2=CD^2-DH^2=25-16=9 所以，CH=3 那么，BC=BH+CH=5+3=8 当PE=CE时，∠C=∠EPC 而根据光线反射的特性，∠EPC=∠APB 所以，∠APB=∠C 所以，AP//CD 已知AD//BC 所以四边形ADCP为平行四边形 所以，CP=AD=5 那么，BP=BC-CP=8-5=3 （2）当点E落在线段CD上时，设BP=x，DE=Y,试求出y与x的函数关系式和定义域 如最上图 延长AD与PE的延长线相交于点F 过点P作AF的垂线，垂足为G 则四边形ABPG为矩形 所以，AG=BP=x 根据光线反射的特性知，∠APG=∠FPG 即，PG为∠APF的平分线 又，PG⊥AF 所以，点G为AF中点 所以，AF=2AG=2x 所以，DF=AF-AD=2x-5 而，CP=BC-BP=8-x 已知CD=5，DE=y 所以，CE=CD-DE=5-y 因为DF//CP 所以，DF/CP=DE/CE 即：(2x-5)/(8-x)=y/(5-y) ===> (2x-5)*(5-y)=(8-x)*y ===> 10x-2xy-25+5y=8y-xy ===> 10x-25=xy+3y=y(x+3) ===> y=(10x-25)/(x+3) 因为点E在线段CD上，所以： 根据反射的特性，当点P为BH中点时，反射光线正好经过点D，此时BP=BH/2=5/2。
  当点P无限接近点C时，反射光线也在CD上无限接近点C 所以，5/2≤x≤8 综上：y=(10x-25)/(x+3)（5/2≤x≤8） （3）连接PD，若以点A、P、D为顶点的三角形与△PCE相似，试求BP的长度 ①如果BP=x＜5/2，那么点E就在线段CD的延长线上（如最下彩图）。
  设PE与AD相交于点G 此时，因为AD//BC，所以：∠DAP=∠APB 而，∠APB=∠EPC 所以，∠DAP=∠EPC 那么，当△APD∽△PCE时，PD与EC就是对应边 根据对应边成比例，就可能是： i）PD/CE=AP/PC……………………………………………………（1） ii）PD/CE=AD/PC……………………………………………………（2） 在Rt△ABP中由勾股定理得到：AP^2=AB^2+BP^2=x^2+16 所以，AP=√(x^2+16) 根据反射的对称性知，AG=2BP=2x 那么，DG=AD-AG=5-2x CP=BC-BP=8-x 因为DG//PC 所以，ED/EC=DG/PC 即：ED/(ED+5)=(5-2x)/(8-x) ===> ED*(8-x)=(ED+5)*(5-2x) ===> ED*(8-x)-ED*(5-2x)=5*(5-2x)=25-10x ===> ED*(x+3)=25-10x ===> ED=(25-10x)/(x+3) 那么，EC=ED+CD=(25-10x)/(x+3)+5 =(25-10x+5x+15)/(x+3)=(40-5x)/(x+3) 又，PH=BH-BP=5-x 所以，在Rt△DHP中由勾股定理有：DP^2=DH^2+PH^2=16+(5-x)^2=x^2-10x+41 所以，DP=√(x^2-10x+41) 代入i）式就有：√(x^2-10x+41)/[(40-5x)/(x+3)]=√(x^2+16)/(8-x) ===> √(x^2-10x+41)*(x+3)/[5*(8-x)]=√(x^2+16)/(8-x) ===> √(x^2-10x+41)*(x+3)=5√(x^2+16) ===> (x^2-10x+41)*(x^2+6x+9)=25x^2+400 ===> x^4-4x^3-35x^2+156x-31=0 ===> x=？？？ 代入ii）式就有：√(x^2-10x+41)/[5(8-x)/(x+3)]=5/(8-x) ===> (x+3)√(x^2-10x+41)=25 ===> x=2 所以，当BP=2时，△ADP∽△PCE（对应的字母为对应边） ②若点E在线段CD上（如中图），过程类似，从略。
  收起