初中数学动点题一道，急如图，直线
如图，直线y=-(3分之根号3)x+1与x轴y轴分别交于B、A两点，以AB为直角边的等腰直角三角形ABC的顶点C在第一象限且∠ABC=90度
（1）求A、B点坐标 （这问不用做，答案是A(0，1)B(根号3，0)）
因为直线方程为：y=(-√3/3)x+1
所以，它与y轴的交点，即x=0时，y=1
则：A(0,1)
它与x轴的交点，即y=0时，x=√3
则：B(√3,0)
（2）将△ABC以每秒1个单位长度的速度延x轴平行移动，移动时间为t(秒)平移后三角形记作△AtBtCt，设平移过程中△AtBtCt与四边形AOBC重叠部分面积为S。 试探究S与t的关系式并写出自变量t的取值范围（有三...全部
如图，直线y=-(3分之根号3)x+1与x轴y轴分别交于B、A两点，以AB为直角边的等腰直角三角形ABC的顶点C在第一象限且∠ABC=90度
（1）求A、B点坐标 （这问不用做，答案是A(0，1)B(根号3，0)）
因为直线方程为：y=(-√3/3)x+1
所以，它与y轴的交点，即x=0时，y=1
则：A(0,1)
它与x轴的交点，即y=0时，x=√3
则：B(√3,0)
（2）将△ABC以每秒1个单位长度的速度延x轴平行移动，移动时间为t(秒)平移后三角形记作△AtBtCt，设平移过程中△AtBtCt与四边形AOBC重叠部分面积为S。
试探究S与t的关系式并写出自变量t的取值范围（有三种情况）
因为△ABC是是沿x轴平行移动，所以B点始终在x轴上，并且AB、BC的方向均不变。所以，点C已知是在一条平行于x轴的直线上移动（如图中最上端平行于x轴的红色直线）
那么：
i）
当△ABC沿x轴的正方向移动时
由(1)知道，Rt△AOB中，AO=1，BO=√3
所以，由勾股定理有AB=2
则，∠ABO=30°，且BC=AB=2
若△ABC的顶点刚好移动到BC上，因为AtBt//AB
所以，∠AtBtB=∠ABO=30°，且AtBt=AB=2
所以，BBt=2*(√3/2)=√3
因为△ABC的移动速度为1单位/s，所以:
t=(√3)/1=√3 s
那么，当t≥√3 s时，△AtBtCt就与四边形AOBC没有重叠部分(t=√3 s时，At点正好在BC上，但是它们重叠的面积可以认为是0)，故此时S=0
当0≤t＜√3 s时，△AtBtCt就与四边形AOBC有重叠部分。
此时，设AtBt与BC相交于点D，AtCt与BC相交于点E
那么，BBt=t*1=t
因为AtBt//AB，所以：∠DBtB=30°
那么：DBt=BBt*(√3/2)=(√3/2)t
所以，AtD=AtBt-DBt=2-(√3/2)t
而，△AtDE仍然是等腰直角三角形，所以：DE=AtD
所以，它们重叠部分的面积（图中蓝色部分）S=(1/2)*AtD*DE
=(1/2)*[2-(√3/2)t]^2
所以，当△ABC沿x轴正方向移动时，就有：
当0≤t＜√3 s时，S=(1/2)*[2-(√3/2)t]^2
当t△≥√3 s时，S=0
ii）
当△ABC沿x轴负方向移动时
若A点刚好落在BtCt上，那么：
因为BtCt//BC，而BC⊥AB
所以，BtCt⊥AB
即，△BABt为直角三角形
而，∠ABBt=30°，AB=2
所以，BBt=AB/(√3/2)=4√3/3
因为△ABC的移动速度为1单位/s，所以:
t=(4√3/3)/1=4√3/3 s
那么，当t△≥4√3/3 s时，△AtBtCt就与四边形AOBC没有重叠部分(t=4√3/3 s时，A点正好在BtCt上，但是它们重叠的面积可以认为是0)，故此时S=0
又，当B点运动到O点时，t=(√3)/1=√3 s
所以，当0≤t≤√3 s时，△AtBtCt就与四边形AOBC有重叠部分。
此时，设AB与BtCt相交于点P，AC与BtCt相交于点Q，AtBt与AO相交于点M。
那么，重叠部分的面积S由两部分构成，一个是等腰直角三角形APQ，一个是直角梯形AMBtP
那么，BBt=t*1=t
因为∠ABO=30°
那么，PB=BBt*(√3/2)=(√3/2)t,PBt=BBt*(1/2)=t/2
且OBt=OB-BBt=√3-t
而，MBt//AB，所以：∠MBtO=30°
所以，AP=AB-PB=2-(√3/2)t
MBt=OBt/(√3/2)=(√3-t)/(√3/2)=(6-2√3t)/3
而，△APQ仍然是等腰直角三角形，所以：PQ=AP
所以，等腰直角△APQ的面积S1=(1/2)*AP*PQ
=(1/2)*[2-(√3/2)t]^2
而，直角梯形AMBtP的面积S2=(1/2)*[MBt+AP]*BtP
=(1/2)*[(6-2√3t)/3+2-(√3t/2)]*(t/2)
所以，它们重叠部分的面积（图中灰色部分）S=S1+S2
=(1/2)*[2-(√3/2)t]^2+(1/2)*[(6-2√3t)/3+2-(√3t/2)]*(t/2)
=[(9-7√3)/24]t^2-(√3-1)t+2
当√3 s＜t＜4√3/3 s时，它们重叠的部分就是一个三角形
仍然设AtBt与AO相交于点M，AB与BtCt相交于点P，AC与BtCt相交于点Q，那么它们重叠的部分就是△AMQ（图中紫色部分）
此时，仍然有：
BBt=t，PB=BBt*(√3/2)=√3t/2
AP=AB-BP=2-(√3t/2)
此时，△APQ仍为等腰直角三角形，所以：PQ=AP=2-(√3t/2)
而，∠AMP=∠OMBt=∠ABO=30°
所以，MP=AP*√3=2√3-(3t/2)
所以，QM=PQ+PM=2-(√3t/2)+2√3-(3t/2)=(2+2√3)-[(3+√3)t/2]
由于MQ//BC，而BC⊥AB
所以，MQ⊥AP
即，AP为△AMQ的高
则，重叠部分的面积S=(1/2)*QM*AP
=(1/2)*[2+2√3t-(3+√3)t/2]*[2-(√3t/2)]
=(3-3√3)t^2/4-(3t/2)+2。收起
