数学问题:一个圆的圆心在直线x-
1,一个圆的圆心在直线x-y-1=0上，与直线4x+3y+14=0相切，在3x+4y+10=0上截得弦长为6，求圆的方程
圆心在直线x-y-1=0上，那么设圆心O(a,a-1)，半径为r
直线4x+3y+14=0与圆O相切，那么圆心O到直线的距离就等于半径
即：d=|4a+3(a-1)+14|/5=r
即：|7a+11|/5=r………………………………………………（1）
又，圆O截得直线3x+4y+10=0的弦长为6，那么过圆心O作直线的垂线，垂足即为该弦的中点，由勾股定理可以得到：d^2+3^2=r^2
d=|3a+4(a-1)+10|/5
所以：[|7a+6|/5]^2+9=[|7a+...全部
1,一个圆的圆心在直线x-y-1=0上，与直线4x+3y+14=0相切，在3x+4y+10=0上截得弦长为6，求圆的方程
圆心在直线x-y-1=0上，那么设圆心O(a,a-1)，半径为r
直线4x+3y+14=0与圆O相切，那么圆心O到直线的距离就等于半径
即：d=|4a+3(a-1)+14|/5=r
即：|7a+11|/5=r………………………………………………（1）
又，圆O截得直线3x+4y+10=0的弦长为6，那么过圆心O作直线的垂线，垂足即为该弦的中点，由勾股定理可以得到：d^2+3^2=r^2
d=|3a+4(a-1)+10|/5
所以：[|7a+6|/5]^2+9=[|7a+11|/5]^2
解得：a=2
代入(1)得到：r=5
所以，圆O的方程为：(x-2)^2+(y-1)^2=25
2,已知BC是圆x^2+y^2=25的弦,且|BC|=6,则BC的中点的轨迹方程__________
同(1)中，过圆心O(0,0)作弦BC的垂线，垂足M即为BC中点，由勾股定理得到：OM^2+(BC/2)^2=R^2=25
所以，OM^2=25-9=16
即说明点M到原点的距离的平方为16
所以，点M的轨迹是：x^2+y^2=16
3，已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程：若不存在，说明理由
圆C:(x-1)^2+(y+2)^2=9
设斜率为1的直线L:y=x+b
联立圆C与直线L的方程得到：x^2+(x+b)^2-2x+4(x+b)-4=0
即：2x^2+2(b+1)x+(b^2+4b-4)=0
则：
x1+x2=-(b+1)
x1x2=(b^2+4b-4)/2
所以：(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=-b^2-6b+9
而，y1=x1+b、y2=x2+b
所以，(y1-y2)^2=(x1-x2)^2=-b^2-6b+9
所以，AB=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√2*√(-b^2-6b+9)
所以，AB/2=(√2/2)*√(-b^2-6b+9)
而，(x1+x2)/2=-(b+1)/2
(y1+y2)/2=[(x1+x2)/2]+b=[-(b+1)/2]+b=(b-1)/2
所以，圆心坐标为(-(b+1)/2,(b-1)/2)
以AB为直径的圆经过原点，那么圆心到原点的距离等于AB/2
则，[-(b+1)/2]^2+[(b-1)/2]^2=(1/2)(-b^2-6b+9)
解得：
b=1，或者b=-4
所以，直线方程为：
y=x+1
或者，y=x-4。
收起
