本体论承诺本人对逻辑哲学很感兴趣，对于蒯因所谓的“本体论承诺”，理解不是很透彻，在此，希望有兴趣者前来探讨，本人不胜感激！
蒯因的本体论承诺学说
在蒯因的整个学术生涯中，对于本体论问题的关注是一贯的。他的哲学出版物中有一半是关于存在、对象、指称、本体论、本体论承诺及其还原，特别是关于它们与量化和一阶逻辑的关系的。 这就是说，蒯因的哲学出版物中有一半是探讨本体论问题的，本体论学说在他的哲学体系中占有重要地位。
一、本体论承诺的识别标准
在本体论方面，蒯因区分了两类问题：一是事实问题，即实际上有什么东西存在；一是承诺问题，他指出：
当我探求某个学说或一套理论的本体论承诺时，我所问的是，按照那个理论有什么东西存在。
一个理论的本体论承诺问题，就是按照那个理论有什么东西存在的问题。[1]
这是两类完全不同的问题。...全部
蒯因的本体论承诺学说
在蒯因的整个学术生涯中，对于本体论问题的关注是一贯的。他的哲学出版物中有一半是关于存在、对象、指称、本体论、本体论承诺及其还原，特别是关于它们与量化和一阶逻辑的关系的。
这就是说，蒯因的哲学出版物中有一半是探讨本体论问题的，本体论学说在他的哲学体系中占有重要地位。
一、本体论承诺的识别标准
在本体论方面，蒯因区分了两类问题：一是事实问题，即实际上有什么东西存在；一是承诺问题，他指出：
当我探求某个学说或一套理论的本体论承诺时，我所问的是，按照那个理论有什么东西存在。
一个理论的本体论承诺问题，就是按照那个理论有什么东西存在的问题。[1]
这是两类完全不同的问题。本体论承诺与实际上有什么东西存在无关，而只与我们说有什么东西存在有关，因而归根结底只与语言有关。
而实际上有什么东西存在则是一个事实问题，它并不完全取决于语言。所以蒯因指出：
一般地说，什么东西存在不依赖于人们对语言的使用，但是人们说什么东西存在，则依赖其对语言的使用。[2]
蒯因认为，在本体论研究中，哲学家有理由退回到语义学水准去考虑问题，即通过语义上溯，避开实际上有什么东西存在这个事实问题，而专注于一个理论说有什么东西存在这个语言问题。
因为这样可以避免传统哲学在讨论有什么东西存在时所造成的困境，使本体论争论变成有关语言的争论，从而有助于争论的平息与问题的解决。
由于本体论承诺只与一个理论说有什么东西存在有关，于是下述问题就是需要研究的：在一个理论中，是什么要素使其作出了本体论承诺？或者说，该理论内本体论承诺的负载者是什么？
蒯因反对“本体论承诺的负载者是单称词项或名字”的看法，并将其斥之为谬见。
他认为，
事实上，名字对于本体论问题是无关重要的。[3]
这是因为，单称词项或名字的出现最终是可消除的，具体途径是：首先，将单称词项或名字转换为一个摹状词，例如将“苏格拉底”改写成“柏拉图的老师”，将“飞马”改写成“那个被科林斯勇士所捕获的有翼的马”。
如果没有现成的办法，也可通过较人为的方法将其改写，例如，将“飞马”改写成“那个是飞马的东西”，“那个飞马化的东西”。其次，用罗素处理摹状词的办法将摹状词消除掉。“柏拉图的老师饮鸩毒而死”，这个含摹状词的语句可以看成是这样一个合取命题：“至少有一个并且至多有一个x教授过柏拉图，并且这个x饮鸩毒而死。
”在这个单称命题中，单称词项、摹状词都不见了，剩下的只有量词、个体变项和谓词。于是，蒯因得出结论：既然我们使用单称词项所说的话都可以在一种根本没有单称词项的语言中说出，因此，单称词项就不可能是本体论承诺的负载者，使用它们决不会使人们因而担负在本体论上许诺某物存在的责任。
此外，蒯因还论述说，存在着无名称的对象，例如根据集合论，必定有不可逐个枚举的对象，最明显的是无理数，无论我们使用多么丰富的记法和多么笨重的表达方式，也不能逐个枚举它们。这也说明单称词项或者说名字不能成为本体论承诺的负载者。
蒯因指出，有些哲学家之所以认为它们作出了本体论承诺，是由于两个基本错误：一是滥用“存在”一词，败坏了“存在”这个好字眼。他们将存在等同于现实性，认为存在具有时空含义，而蒯因认为，存在只是简单的“有”。
二是不区分名称的含义和所指，而将其混淆在一起。
蒯因也否认本体论承诺依赖于我们所使用的谓词的说法。有些哲学家如柏拉图主义者论证说：使用如“红的”这种谓词表达式必然导致承认不仅有个别具体的东西存在，而且还有非个别的对象，如红这种抽象性质（redness）存在。
在蒯因看来，这一看法包含一个基本错误，即把谓词也看作是名字，从而要在诸个别事物的共性或共相中寻找其指称对象。但事实上，谓词根本不是名词，它们本身在外延上并不指称任何特殊类型的实体，只是对于某些对象是适用的，对于某些对象则不适用，或者换句话说，把它们用在某些对象上得到真句子，用在另一些对象上则得到假句子，如此而已。
因此，柏拉图主义者从一般谓词表达式到共相或本质的推理是不成立的，谓词本身并不携带本体论承诺，它对于柏拉图主义（实在论）与唯名论的对立是中性的。有些哲学家还论证说：把一般词项“红的”（red）作谓词使用时，我们必须承认它命名了一个实体，即共相“红”（redness）,否则这个谓词有什么意义呢？蒯因指出，这里的错误是抹杀命名与意义间的重要区别。
一个一般词项是否有意义，不在于它是否具有为一个实体命名的功能；只要我们知道：在什么时候、什么条件下可以使用这个谓词，在什么时候、什么条件下不能使用它，我们也就知道了这个谓词的意义。因此，一般词项能有意义地作为谓词使用，并不能推出它的意义在于作为一个实体的名称。
蒯因于是作出结论说：
一个人可以承认有红的房屋、玫瑰花和落日，但否认它们有任何共同的东西。
我们能够使用一般词语，而无须承认它们是抽象的东西的名字。[4]
一句话，谓词并不是本体论承诺的适当承担者。
那么，究竟是什么东西负载着本体论承诺呢？蒯因回答说：是约束变项！约束变项的使用是使我们卷入本体论承诺的唯一途径，“存在就是成为约束变项的值。”后面这一著名口号最早是在《对本体论问题的逻辑探索》（1939）一文中提出的，后来在《论有什么》、《逻辑和共相的实在化》等论文中作了周密的论证。
在这些以及其他论文中，上述口号有多种表述形式，例如：
我们可以说承认如此这般的实体，当且仅当，我们认为在我们的变项的值域内包括这类实体。[5]
被假定为一个存在物，纯粹只是被看作一个变项的值。
……我们的整个本体论，不管它可能是什么样的本体论，都在“有个东西”、“无一东西”、“一切东西”这些量化变元所涉及的范围之内；当且仅当为了使我们的一个断定是真的，我们必须把所谓被假定的东西看作是在我们的变项所涉及的范围之内。
[6]
为了使一个理论所作的断定是真的，这个理论的约束变项必须能够指称的那些东西，而且只有那些东西才是这个理论所许诺的。[7]
一般地说，某给定种类的实体为一理论所假定，当且仅当其中某些实体必须算作变元的值，才能使该理论中所肯定的那些陈述为真。
[8]
蒯因之所以把本体论承诺与约束变项联系起来，是因为他把句子中的变项看成一种不定代词，代表着某事物中的任意一个，这类事物是这个变项的值域，即该变项只能从这个值域内任取一个分子为值。
（明显可以看出，这里采用了量词的指称解释。）约束变项是被量词限定了的变项，其值域已经给定，它同样作为代词而成为指称的基本手段，存在就意味着处于一个约束变项的取值范围内，即成为它的一个值。从约束变项出发考虑本体论问题，才能得到一个可靠的标准，判定一个理论所承诺的是什么样的本体论。
一个理论所承诺的东西必须能够为该理论的约束变项指称，这个理论所作出的断言才是真的。
这里，蒯因给出了一个理论的本体论承诺的识别标准。根据这个标准，假如我们要寻求某种科学理论或日常语言话语的本体论，即它们承认哪些对象是存在的，我们首先必须用一阶逻辑的语言改写这些理论，然后弄清楚哪些量化公式是该理论的定理，最后再研究为了使这些量化公式为真，量化公式中的约束变项应该取什么值，这些值便是该理论所承诺的存在物，这样他的本体论承诺便被揭示出来了。
例如，蒯因使用上述方法，揭示了传统的实在论、概念论与唯名论的差别，并将现代数学哲学中的逻辑主义、直觉主义、形式主义依次类比为这三者。他认为，作为现代实在论的逻辑主义的特点是：“允许人们不加区别地使用约束变项来指称……抽象物”；作为现代概念论的直觉主义也允许使用抽象物为值的变项，但有一个限制，即“只有在抽象物能够由预先指明的诸个别成份个别地构造出来时，才可以使用约束变项来指称它们。
”形式主义类似于唯名论，它“根本反对承认抽象的东西，甚至也不能在心造之物的有限制的意义上承认抽象的东西。”[9]
蒯因还曾指出，一个理论的本体论不同于它的本体论承诺。粗略地说，一个理论的本体论相当于该理论在本体论上所预设或假定的实体，但本体论承诺并不等同于本体论预设。
这是因为，根据定义，语句p预设语句q,当且仅当，如果p真则q真，如果p真则q也真。这就是说，q是p和p为真的必要条件，p和p有同样的预设。于是，根据这个定义，下述两个句子
(1) 有些东西是狗。
(2) 没有东西是狗。
就有同样的本体论预设。而(1)和(2)可分别表示为：
(3) (x)A(x)
(4) (x)A(x)
而根据定义，(4)等值于
(5) (x)A(x)
欣迪卡（Jaakko Hintikka）因此指出：
蒯因似乎认为，一个句子承诺了它所包含的约束变项的所有值存在，而不仅仅是使该句子为真而需要的那些特殊的值存在。
简而言之，(x)A(x)和(x)A(x)携带同样的本体论承诺。[10]
但是，蒯因本人不承认这种解释：
我余下的评论旨在消除对我的“本体论承诺”一词用法的误解。
麻烦来自于把这个词看作是我的关键性的本体论用语，并因此把一个理论的本体论等同于该理论在本体论上所承诺的所有事物的类。这不是我的意图。[11]
换句话说，(x)A(x)和(x)A(x)具有同样的本体论预设，即变元的同一个值域，但不具有同样的本体论承诺。
一个理论的本体论包括属于变元的值域的所有实体，也就是满足谓词“PD”的那些实体；而一个理论的本体论承诺只包括这样的实体y，y∈PD并且y满足谓词A(x)。根据这种观点，当我们说语句(1)或(3)时，我们就承诺了狗的存在；而当我们说(2)或(4)时，我们并未承诺狗的存在，而只承诺了非空论域的存在（因为一阶逻辑要求论域非空）。
顺便指出，本体论承诺不应理解为预设，而应理解为蕴涵，可严格定义如下：理论T在本体论上承诺实体a，当且仅当，T逻辑蕴涵(x)(x=a)；承诺性质F当且仅当T逻辑蕴涵(x)F(x)。
应该注意的是，这里的蕴涵是逻辑蕴涵，至少相当于严格蕴涵和衍推，而不是实质蕴涵，因为后者太弱了，会得出一些反直观的结果。
二、本体论承诺的识别方法
本体论承诺是需要识别的，因为第一，许多理论并不是用量化理论的形式表达的，因此其中哪些实体是约束变项的值常常是不清楚的。
蒯因注意到，当人们对日常语言的指称装置进行反思时，会“遇到暗含在这些装置中的各种反常（anomalies）和冲突（conflicts）”。也许对于许多目的来说，这些反常如模糊性、歧义性以及其他的指称失败并不造成严重的困难。
但是，在科学和哲学领域，它们却会产生严重的问题，因为它们使得我们难以得到既具总括性又不失简单性的理论,它们使概括难以进行,使理论内的演绎推理复杂化，并且使本体论承诺模糊不清。因此，就科学和哲学而言，必须清除日常语言中的这些反常和冲突。
第二，即使一理论是用量化理论的形式表述的，人们也常常有可能没有明确意识到他们接受的那个理论的全部本体论承诺，从而使得该理论的本体论承诺集与存在陈述集并不一致，即该理论明确承诺的实体数目少于或多于该理论实际所承诺的实体数目。
因此，需要有一定的程序和方法去识别一个理论的本体论承诺，从而澄清该理论真正的本体论立场。
蒯因提出了这种程序和方法，用一个简单的词语来概括，就是“语义整编”（semantic regimentation),即运用现代数理逻辑的工具，对用日常语言如英语表述的理论进行释义性改写，以消除其中的各种反常和冲突，显示其真正的本体论立场。
蒯因指出，“我们反思……我们自己的指称装置的展开和结构”，并提出“符合现代逻辑精神”的补救方案。
科学语言的基本结构，已经以一种熟知的形式被离析出来，并得到了系统化。这就是谓词演算：量化和真值函项的逻辑。
[12]
谓词演算的语言是一种外延语言，下述三个规则在其中成立：
(1)如果一名称在句子中出现，我们总是可以用具有相同指称的另一名称来替换它，并且该句子的真值保持不变。
(2)如果一谓词或关系表达式在一句子中出现，我们总是可以用具有相同外延的另一个谓词或关系表达式来替换它，并且该句子的真值保持不变。
这里一谓词的外延就是该谓词所适用的那些对象所组成的集合，一关系表达式的外延就是具有它所表示的关系的对象有序偶的集合。
(3)如果一个完整的句子作为部分出现在另一复合句子中，我们用具有相同真值的另一个句子替换它时，该复合句的真值保持不变。
当用这种标准记法系统对我们用日常语言表述的理论进行整编后，首先，我们获得了普遍性，因为变项的值域并没有特别的限定，它可以适于任何对象域；其次，我们使已整编理论的语句之间的关系一目了然，从而使演绎推理可顺利进行；再次，我们揭示了该理论的本体论承诺，因为存在被简单地看作是处于已整编理论的约束变项的值域之内。
最后，在蒯因看来，唯有相对于这种已整编的语言，研究本体论问题即“What is there（有什么）”才有意义：一个人的
本体论是不确定的，除非相对于某些先已同意的将他的记法译为我们的整编形式的译文。
[13]
这里应补充的一点是，当我们把日常语言或理论译为标准记法时，我们只是使暗含于原语言或理论中的东西明确起来，而并不展示原语言或理论暗含的意义或暗含的指称。相反，我们的译文是原理论的类似物，它们能够取代原理论，仅仅因为它们与原理论具有部分对应关系。
蒯因对于语义整编的讨论，是在《语词和对象》的第三章中进行的。他所谓的语义整编包括两个前后相继的步骤：语法分析和释义（paraphrase）。语法分析是自然语言整编的第一步。蒯因把英语作为自然语言的一例，分析了英语的各种语法范畴及其语义作用。
释义是语义整编的第二步，它包括两个任务：一是消除日常语言中妨碍成功交际的不确定性和不规则性，如模糊性、歧义性和指称失败。这可以通过一些简单的释义技巧来做到，如通过将有关的句子置于一定的语境中加以分析，就可以消除掉语词的模糊性、多义性或歧义性。
指称失败是指有些词项出现在不描述、不指称对象的位置上，如下面的句子
(1)罗马是一座城市。
(2)罗马是两个汉字。
在(2)中，词项“罗马”就有指称失败。蒯因认为，引文、命题态度词如“相信”、模态词、时态词等都造成晦暗语境，不适于标准记法的外延性框架，因此需要对其进行整编。
对于这些不同的情况，蒯因采取了不同的策略。对于像上面例(2)这样的晦暗语境，蒯因一般采取给相关词项或表达式加单引号的办法，例如：
(3)‘罗马’是两个汉字。
(4)‘Tully was a Roman’是抑扬格。
对于含时态因素的命题，蒯因通过将其中潜在的时间因素揭示出来，将其整编为其真假与特定时间无关的恒久语句，从而把它纳入标准记法系统的外延框架内。这一点已在本书8。1节加以讨论。关于模态词和命题态度词，蒯因指出：
对于任何一门科学的理论构造来说，只要它是用命题态度词或模态词表述的，它就肯定不会是确切的。
[14]
也就是说，蒯因将它们简单地排斥了事。
释义的第二个任务是，通过精释（explication）消除语言中除标准记法的词项或构造之外的一切其他成份。本书第七章曾指出，精释不是单纯地把定义词解释为另一个词，它是通过对被定义词的意义进行提炼和补充的方式来改进被定义词，其目的是为了保持某些特优语境的用法，同时使其他语境的用法更为明确。
标准记法中只含有谓述、真值函项、全称或存在量化、变项和普遍词项。因此，日常语言的所有单称词项都必须消去。具体来说，简单单称词项如专名可以从语法上解析为普遍词项、指示性单称词项、类名称、命题名称、属性名称、关系名称、代数型词项等等，全都精释为单称摹状词。
这些单称摹状词反过来又被精释为其中仅有变项和普遍词项出现的量化语句。指示词语精释为量化语句，或者在某些情况下，直接精释为普遍词项。在上述各种场合，精释的办法各有不同。例如，若a是一名字，Fa是含有此名字的语句。
显然，Fa是与(x)(a=x∧Fx)等值的，其中“∧”表示“并且”。由此可见，除开在“a=”中以外a是不必出现的。而我们又可将“a=”表示为一简单谓词A,于是Fa就变成了
(7)(x)(Ax∧Fx)
其中A只是对于对象a为真。
为了不至于在释义中失去名字的唯一性，可以更精确地将Fa释义为：
(8)(x)Ax∧(x)(y)(Ax∧Ay∧(x=y)∧Fx)
这样一来，我们通过释义消除了名字。
于是蒯因指出：
很显然随着我们对单称词项的彻底清洗，除了变项本身这唯一的例外，没有什么东西会留下来。[15]
由此可见，蒯因所谓的“语义整编”，就是在语法分析和释义的基础上，先用标准记法对用自然语言表达的理论进行改写，以清除由自然语言的模糊性和歧义性引起的指称障碍，使隐含在理论中的本体论承诺在整编或改写过的语言中明确起来；然后，在整编或改写过的语言中，看哪些东西被量词所约束而成为约束变项的值，它们就是该理论的本体论承诺。
因此，识别本体论承诺的方法也就是用标准记法对用自然语言表述的理论进行整编的方法。
蒯因强调指出，整编或其关键步骤释义是一种语言变形技巧，它与翻译不同，不要求一字不漏地转译，只要求在不失去任何意义信息的条件下，把自然语言转译为用标准记法整编过的语言。
由于标准记法系统对释义活动的决定是不充分的，即仅凭标准记法系统的规则不能确定如何把任一给定的句子释义进整编过的语言，因此对同一个句子来说，就有几种不同的释义方法，并由此会得到几种不同的释义结果。
这样一来，由同一个理论出发，经过释义，常常会得到许多不同的概念系统，并且这些不同的系统相应地有不同的本体论承诺，于是就出现了各种本体论承诺并存的局面，即本体论承诺具有相对性。那么，原来的句子S与作为释义结果的句子S′之间，或者说，在原有理论理论T与作为释义结果的理论T′之间是否存在严格的同义关系呢？蒯因指出，由于同义性本身就是一个模糊的无法加以严格定义的概念，因此谈不上在两者之间存在着同义关系，并且也不需要它们严格同义。
只要说话者原来用S所做的事情或所实现的意图，现在用S也能够做到或实现，那么此种释义就是可接受的，足以令我们满意。蒯因指出：
在释义过程中，使一个表达式进入适于普遍词项的位置，还是进入适于单称词项的位置，这个问题取决于对系统的功能和对理论的效用的考虑。
[16]
这就是说，判定一个释义可接受与否的标准是实用方面的考虑。
三、本体论承诺的认可标准
“存在就是作为约束变项的值”，这是蒯因所提出的本体论承诺的识别标准。与此同时，蒯因还提出了另一个标准：
没有同一性就没有实体。
[17]
这是一个理论的本体论承诺的认可标准，换句话说，是判定一个理论的本体论承诺是否成立、是否可接受的标准。它既是确认两个事物等同或同一的准绳，又是确认两个事物不等同或不同一的尺度。
关于这一标准，蒯因提出了下列表述：
……我们持如下的本体论观点：使用一般词项本身并不就使我们在本体论上承认一个相应的抽象实体；反之，使用一个抽象单称词项（服从相等的东西代替相等的东西这样的单称词项的标准作用）就一定迫使我们去承认它们所命名的抽象实体。
[17]
一般说来，我们可以提出不可区分的东西的同一性原理：在一给定的话语的语词中，彼此不可分辨的对象应当解释为对这个话语是同一的。更确切地说就是，为了这个谈话的目的，对原初对象的指称应当重新解释为指称其他的、较少的对象，其方式是不可区分的原对象每个都被相同的新对象所代替。
[18]
蒯因还以赞同的口吻转述了弗雷格的观点：
弗雷格主张，一个词项是否进入同一性语境是判定该词项可否作为一个名称来使用的标准。在一个给定的语境中，确定一个词项是否被用来作为一个东西的名字，就要看这个词项在语境中是否被认为是服从同一性法则即相等的东西代替相等的东西的规律。
[19]
这里，同一性法则又叫做个体化原则，它是指这样一种标准，我们借助于它就能使某个东西个体化（individuation），规定它到底是哪一个东西，说明它出自何处并且剔除其他不合标准的东西；简言之，借助于这个标准，我们就能辨认出某个东西或者能再次分辨出它是同一个东西。
这一原则最初是由莱布尼兹提出来的，其内容是：如果x和y在下述含义上是不可分辨的，即x的一切特性都是y的特性，反之亦然，那末，x和y是同一的。这一原则在现代谓词演算或一阶逻辑中则表现为两个规则，即等值置换规则和同一性替换规则。
应当强调指出的是，蒯因所主张的同一性标准是一种很强的外延性标准，仅有外延性实体如个体和类才能满足上述标准，而其他抽象实体，如属性、关系、函数等共相，概念、命题、意义等内涵性实体，以及可能的秃子或胖子等可能个体，都不符合上述标准，因此蒯因一概地不承认它们，将它们从其本体世界中驱逐出去，而只留下了个体和类。
四、代理函项与本体论还原
本体论还原（ontological reduction）讨论的是一个理论的本体论承诺的可避免性，即能否将一理论的较为丰富的本体论简化、归约或还原为另一理论的较为贫乏的本体论，而又不伤害所考虑的那个理论的规律。
如果这样做是可行的，我们就说该理论的本体论承诺是可避免的，它的本体论容许归约或还原。但是，并非所有的还原都是可接受的，这里需要有一些限制。蒯因引入了“代理函项”（proxy function）这一概念，以刻画将一理论从本体论上还原为另一理论何时是可接受的。
我们先规定一些术语的用法。“理论”一词专指在演绎下封闭的递归可枚举的语句集；“语言”一词专指在通常的形成规则下封闭的语句集，在这两种情形下都没有解释。“模型”是指一个赋值，它将一个值域和适当的n元组集指派给一语言的谓词。
蒯因在下面一段话中最精确地陈述了本体论还原：
现在能以下述方式提出将一理论还原为一理论的标准。我们选定一个函项，不必用或的记法表示，它允许以值域中的的所有对象做主目，并在的值域中取值。
这就是代理函项。然后，对于每一个n，我们以下述方式能行地将的一个含n个自由变项的开语句，与的每一n元初始谓词相关联：该谓词被作为代理函项主目的一个n元组所满足，当且仅当，该开语句被作为代理函项的值的相应n元组所满足。
[20]
从这一定义明显可以看出，还原是两个有解释的语言之间的关系，而一个有解释的语言则可定义为一个三元组，其中D是一非空集，L是一语言，I是L在适当类型的论域D中的解释。根据蒯因的定义，可还原为，当且仅当，有一代理函项f，使得对于L的每一n元初始谓词R，L中都有一含n个自由变项的开语句A，使得一序组在I中满足Rx1……xn，当且仅当在I 满足Ax1……xn，这里是取的元素在f下的映像而得到的序组，即是说，若=，则=。
我们还可定义一个与本体论还原有些类似的概念：一理论在另一理论中得到相对解释。可在中得到相对解释,当且仅当,存在一个从的谓词Rn到的含n个自由变项的开公式An和一个一元开公式Dx的映射，使得对于的任一语句Φ(R1…Rk)，├ Φ（R1…Rk）当且仅当├ Φd（A1…Ak），这里Φd（A1…Ak）是的一个语句，它通过使所有量词相对于D并用Ai替换每一个Ri，从的语句Φ（R1…Rk）得到。
蒯因举例说，哥德尔在证明著名的不完全性定理时，所使用的“…的哥德尔数”就是一代理函项，通过它可以把初等证明论的值域（由表达式或符号串组成）映入初等数论的值域（由数组成)，于是初等证明论的本体论就被还原、归约为初等数论的本体论。
蒯因指出，代理函项不必是一一对应的。考虑这样一个经济学理论的片段，它的论域由纳税人组成，但它的谓词不能区别收入相同的人。代理函项对每一个人指派他的收入，纳税人的本体论D就被还原为收入D的本体论，两者之间并不一一对应，因为D的基数小于D的基数。
这样的还原是可接受的，因为它所合并的仅是此类个体的映像，这些个体从来不曾被原理论的谓词区别开，原理论中没有任何东西。收起
