平行四边形ABCD,EF⊥AC,BE=OE=1/2AE,求证:平行四边形ABCD是矩形
m***
2008-12-13
h***
2005-01-09
(1) 证明:∵四边形ABCD是矩形 所以∠DAB=90° 又因为四边形AEDB是等腰梯形 所以∠ADB=∠DBE 在△EBD和△ADB中 EB=AD,∠DBE=∠ADB,BD=DB 所以△EBD≌△ADB 所以∠DEB=∠DAB=90° 所以BE⊥DE (2) 解:因∠A=90°,AD∥BC 所以∠ABC=90°又∠C=60° 所以∠ADC=120° 因∠ADB=∠BDE=1/2∠EDC 又∠ADB+∠BDE+∠EDC=120° 所以∠ADB=∠BDE=1/2∠EDC=30° 所以∠EDC=60°,∠ADC=90° 所以△EDC是等边三角形 △ BDC是直交三角形 所以EC=CD=ED=...全部
(1) 证明:∵四边形ABCD是矩形 所以∠DAB=90° 又因为四边形AEDB是等腰梯形 所以∠ADB=∠DBE 在△EBD和△ADB中 EB=AD,∠DBE=∠ADB,BD=DB 所以△EBD≌△ADB 所以∠DEB=∠DAB=90° 所以BE⊥DE (2) 解:因∠A=90°,AD∥BC 所以∠ABC=90°又∠C=60° 所以∠ADC=120° 因∠ADB=∠BDE=1/2∠EDC 又∠ADB+∠BDE+∠EDC=120° 所以∠ADB=∠BDE=1/2∠EDC=30° 所以∠EDC=60°,∠ADC=90° 所以△EDC是等边三角形 △ BDC是直交三角形 所以EC=CD=ED=3,BC=2CD=6(直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半) 所以BD×BD=6×6-3×3=27 BD=3√3 有因为在直角三角形ABD中,∠A=90°,∠ADB=30° 所以AB=1/2BD 所以AD×AD=BD×BD-AB×AB =27-27/4=81/4 所以AD=9/2 (3) 证明:过C作CG∥BF 则∠AGC=∠ABF, 又DF∥AB,所以四边形BFCG四平行四边形 所以BF=CG 因DF∥AB 所以∠DFE=∠ABF, 所以∠AGC=∠DFE, 因四边形ACED四平形四边形 所以AC=DE,∠EDC=∠ACD, 又因为DC∥AB,所以∠ACD=∠CAG, 所以∠EDC=∠CAG, 所以△EDF≌△AGC 所以CG=EF 因BF=CG(已证) 所以BF=EF (4) 证明:因E,F分别是AB,BC 所以EF是△ABC的中位线 所以EF∥AC 同理HG∥AC EH∥BD,GF∥BD 所以EF∥HG,EH∥GF 所以四边形EFGH四平行四边形 又因为AC⊥BD 所以EF⊥BD,因EH∥BD 所以EF⊥EH 所以四边形EFGH四矩形 所以EG=FH9(矩形的两对角线相等) (5) 证明:取BC的中点E,连结ME,NE 则ME是三角形ABC的中位线,NE是三角形BCD的中位线 所以ME=1/2AB,NE=1/2CD 在三角形MNE中,MN>(ME-NE) 即MN>(1/2AB-1/2CD) 所以MN>1/2(AB-CD) 。 收起
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